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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Design d'espace }}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Design d'espace session 2004}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{A. Étude des variations d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0,5~;~ 2] par 

\[f(x) = x^2 + \dfrac{2}{x}\]

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $f'(x)$ pour tout $x$ de [0,5~;~ 2].
		\item  Vérifier que, pour tout $x$ de [0,5~;~ 2]

\[f'(x) = \dfrac{2(x-1)\left(x^2 + x + 1\right)}{x^2} \]

	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout $x$ de [0,5~;~ 2],~$\dfrac{2(x-1)\left(x^2 + x + 1\right)}{x^2}	> 0$.

En déduire, dans un tableau, le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans [0,5~;~2].
\item Établir le tableau de variations de $f$.
\item Indiquer pour quelle valeur de $x,~ f$ admet un minimum.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Application à un problème d'optimisation}

\medskip

Un fabriquant doit réaliser un réservoir en plastique sans couvercle ayant la forme d'un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont exprimées en mètres.

La hauteur est $h$ et la base est un carré de côté $x$, comme le montre la figure suivante. On admet que $0,5 \leqslant x \leqslant 2$.
 
\begin{center} 
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5,5.5)
\psframe(2.9,3.8)
\psline(2.9,0)(4.2,1.3)(4.2,5.1)(1.3,5.1)(0,3.8)
\psline(2.9,3.8)(4.2,5.1)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.3,1.3)(1.3,5.1)
\psline[linestyle=dashed](1.3,1.3)(4.2,1.3)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(4.8,1.3)(4.8,5.1)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(0,-0.4)(3.1,-0.4)
\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(3.2,-0.3)(4.5,1)
\uput[d](1.55,-0.5){$x$} \uput[dr](4,0.2){$x$}
\uput[r](4.9,3){$h$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer le volume $V$ en m$^3$, du réservoir en fonction de $x$ et $h$.
		\item  On se propose de construire un réservoir dont le volume est 0,5~m$ ^3$.
		
À l'aide du a., donner l'expression de $h$ en fonction de $x$ lorsque $V =  0,5$.
	\end{enumerate}
\item On note $S(x)$ l'aire totale du réservoir sans couvercle.

Démontrer que $S(x) =  x^2 + \dfrac{2}{x}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déduire de la partie A la valeur de $x$ pour laquelle l'aire totale du réservoir est minimale, c'est-à-dire pour laquelle le coût de fabrication de ce réservoir est minimal.
		\item  Déterminer les valeurs correspondantes de $S$ et de $h$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Exemple de courbe de Bézier définie par points de définition et polynômes de Bernstein.}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~centimètres, on donne les points suivants par leurs coordonnées :  A(1 ~;~1) , B(3~;~ 2) et C(4~;~ 1).

\medskip

Le but de l'exercice est de déterminer et de tracer une courbe possédant les propriétés suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  elle passe par les points A, B et C ;
\item elle admet le vecteur $\vect{\text{AB}}$ pour vecteur directeur de la tangente à la courbe au point A ;
\item  elle admet le vecteur $\vect{\text{BC}}$ pour vecteur directeur de la tangente à la courbe au point C.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour tout nombre $t$ de l'intervalle [0~;~1], soit $M$ le point défini par :

\[\vect{\text{O}M}  = (1 - t)^2 \vect{\text{OA}} + 2t(1 - t) \vect{\text{OB}} + t^2 \vect{\text{OC}}.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer en fonction de $t$ les coordonnées $x$ et $y$ du point $M$.
\item  On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par

\[f(t) = t^2 + 4t+1~~ \text{et}~~ g(t) = -2t^2 + 2t + 1.\]

Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ sur [0~;~1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.
\item   On note $\Gamma$ la courbe, dans le repère orthonormal \Oij, dont un système d'équations paramétriques est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&f(t)\\
y&=&g(t)\\
\end{array}\right.$	où $t$ appartient à l'intervalle [0~;~1].
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le vecteur $\vect{\text{AB}}$ est un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point A et que le vecteur $\vect{\text{BC}}$ est un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point C.
		\item  Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point S obtenu pour $t =  \dfrac{1}{2}$.
		\item  Tracer avec précision les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BC}}$, la tangente au point S, puis la courbe $\Gamma$.\\
		 (On rappelle que l'unité graphique est 2~cm.)\\
		 
\medskip

\emph{La courbe $\Gamma$ ainsi obtenue est la courbe de Bézier dont A, E, C sont les points de définition.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}