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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Design d'espace }}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\pagestyle{fancy}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Design d'espace session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 5~cm, on considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est :

\[\left\{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}\begin{array}{l c l c l}
x &=&f(t) &=& - t^3 + 3t\\ 
 y&=&g(t)&=& - 2t^3 - \dfrac{3}{2}t^2 + 3t\\
\end{array}\right.~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0 ; 1]}\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ où $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$.
\item  Étudier les signes respectifs de $f'(t)$ et $g'(t)$ lorsque $t$ varie dans l'intervalle [0~;~1].
\item  Rassembler les résultats dans un tableau de variation unique.
\item  Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des trois points O, A, B obtenus respectivement pour $t = 0,~ t = 0,5$ et $t = 1$.
\item  Placer les points O, A, B, tracer avec précision, sur une feuille de papier millimétré, la tangente en chacun des points, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oijk{} de l'espace, on donne les points suivants par leurs coordonnées :
 
\[\text{A}(1~;~3~;~- 1)~;~ \text{B}(2~;~1~;~4)~; ~\text{C}(5~;~0~;~3)~ \text{et D}(4~;~2~;~-2).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
		\item  Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{BC}}$.
		
Que peut-on en déduire sur la nature du parallélogramme ABCD ?
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du milieu I de [AC].
\item On considère la pyramide SABCD de sommet S(6,5 ; 9,5 ; 3,5).
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le vecteur $\vect{\text{IS}}$  est orthogonal à chacun des deux vecteurs $\vect{\text{AB}}$  et $\vect{\text{BC}}$.
		\item  Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide SABCD dont [IS] est une hauteur.
	\end{enumerate}
\item On se propose de déterminer une mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{SAB}}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AS}} \cdot \vect{\text{AB}}$.
		\item   Donner les valeurs exactes des distances AS et AB.
		
En déduire la valeur exacte de $\cos \widehat{\text{SAB}}$ 	puis une valeur approchée, arrondie à $10^{-1}$ de la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{SAB}}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}