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\begin{document}\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Design d'espace }}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Design d'espace session 2005}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Étude d'un tétraèdre régulier obtenu à partir d'un cube}

\medskip

On dispose d'un cube ABCDEFGH dont une arête mesure 10~cm. On coupe le cube suivant les plans BDG, BDE, BEG et DEG. On obtient le tétraèdre DEGB.

\medskip

\begin{pspicture}(12,4.5)
\uput[ul](1.9,4.2){A} \uput[ur](4.9,4.2){B} \uput[r](4,3){C} \uput[l](1,3){D} 
\uput[l](1.9,1.2){E} \uput[r](4.9,1.2){F} \uput[dr](4,0){G} \uput[dl](1,0){H}
\pspolygon(1,0)(4,0)(4.9,1.2)(4.9,4.2)(4,3)(4,0)(1,3)(1,0)%HGFBCGD
\psline(4,3)(1,3)(1.9,4.2)(4.9,4.2)%CDAB
\psframe(5.5,1.6)(5.6,2)
\psframe(5.7,1.6)(5.8,2) 
\psline(5.8,2)(6.8,2)(6.8,2.1)(7.5,1.8)(6.8,1.5)(6.8,1.6)(5.8,1.6)%flèche
\pspolygon(4,0)(1,0)(1,3)(4.9,4.2)%GHDB
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1.9,1.2)(4.9,1.2)%HEF
\psline[linestyle=dashed](4,0)(1.9,1.2)(1,3)%GED
\psline[linestyle=dashed](1.9,4.2)(1.9,1.2)(4.9,4.2)%AEB
\uput[l](8,3){D} \uput[ur](11.9,4.2){B}
\uput[l](8.9,1.2){E}  \uput[dr](11,0){G}
\pspolygon(8,3)(11.9,4.2)(11,0)(8.9,1.2)(8,3)(11,0)%DBGEDG 
\psline[linestyle=dashed](11.9,4.2)(8.9,1.2)%BE
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que ce tétraèdre est régulier, c'est à dite montrer que les six arêtes du tétraèdre ont même longueur.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la valeur exacte de l'aire en cm$^2$ d'une face de ce tétraèdre.
		\item  Soit I le centre de gravité du triangle DEG. On admet que la droite (BI) est perpendiculaire au plan du triangle DEG.
		
Montrer que BI $= \dfrac{20}{\sqrt{3}}$~cm.
		\item   En déduire la valeur exacte du volume $V$, en cm$^3$, du tétraèdre.
		
\emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par : $V = \dfrac{1}{3}B \times h$, où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide.}
		\item  Donner une valeur approchée arrondie à $10^{-1}$ de $V$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

\emph{Exemple de courbe de Bézier définie par points de definition et polynômes de Bernstein.}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~centimètres, on donne les points suivants par leurs coordonnées :

\[\text{A}(-1~;~0),~ \text{B} (0~;~ 1),~ \text{C}(1~;~1)~ \text{et D}(1~;~0).\]

Pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0 ; 1], soit $M$ le point défini par :

\[\vect{\text{O}M} = (1 - t)^3 \vect{\text{OA}} + 3t(1 - t)^2 \vect{\text{OB}} + 3t^2 (1 - t)\vect{\text{OC}}  + t^3 \vect{\text{OD}}.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer en fonction de $t$ les coordonnées $x$ et $y$ du point $M$.

\item  On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par :

\[f(t) =- t^3 + 3t - 1~~ \text{et}~~ g(t) = - 3t^2 + 3t.\]

Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ sur [0~;~1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.
\item On note $\Gamma$ la courbe, dans le repère orthonormal \Oij, dont un système d'équations paramétriques est : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&f(t)\\
y&=&g(t)\\
\end{array}\right.$
où $t$ appartient à l'intervalle [0~;~1].
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{\text{AB}}$ est un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point A et que le vecteur $\vect{\text{DC}}$ est un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point D.
		\item Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point S obtenu pour $t = \dfrac{1}{2}$.
		\item Placer les points A, B, C et D. Tracer avec précision les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{DC}}$, la tangente au point S, puis la courbe $\Gamma$.
		
(On rappelle que l'unité graphique est 2~cm.)
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer la courbe $\Gamma'$ image de la courbe $\Gamma$ par la symétrie centrale de centre A$(-1~;~ 0)$.
		\item  On note $\Gamma_{1}$ la réunion des courbes $\Gamma$ et $\Gamma'$. Tracer la courbe  $\Gamma_{2}$ image de la courbe  $\Gamma_{1}$ par la symétrie orthogonale d'axe, l'axe des abscisses.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}