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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{mai 2001}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Conception de produits industriels session 2001}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties A, B, C de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\medskip

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des pièces métalliques rectangulaires dont les cotes sont exprimées en millimètres.
 
Un contrôle de qualité consiste à vérifier que la longueur et la largeur des pièces sont conformes à la norme en vigueur.

\medskip
 
\textbf{Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront arrondis à}\boldmath  $10^{-3}$ \unboldmath.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On note E l'évènement : \og une pièce prélevée au hasard dans le stock de l'entreprise est conforme \fg.
 
On suppose que la probabilité de l'évènement E est 0,9.
 
On prélève au hasard 10 pièces dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pièces.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 10 pièces, associe le nombre de pièces conformes parmi ces 10 pièces.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 8 pièces au moins soient conformes. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Une partie des pièces de la production de l'entreprise est fabriquée par une machine automatique notée \og machine 1 \fg.
 
Soient $M$ et $N$ les variables aléatoires qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans un lot très important fabriqué par la machine 1, associent respectivement sa longueur et sa largeur.
 
On suppose que $M$ suit la loi normale de moyenne $m_{1} = 250$ et d'écart type 

$\sigma_{1} = 1,94$.

On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne $m_{2} = 150$ et d'écart type $\sigma_{2} = 1,52$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la longueur d'une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit comprise entre 246 et 254. 
\item  Calculer la probabilité que la largeur d'une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit comprise entre 147 et 153. 
\item  Une pièce est conforme si sa longueur est comprise entre 246 et 254 et si sa largeur est comprise entre 147 et 153.
 
On admet que les variables $M$ et $N$ sont indépendantes.
 
Montrer que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit conforme est $0,914$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Une autre machine automatique de l'entreprise, notée \og machine 2 \fg{} fabrique également ces mêmes pièces en grande quantité.
 
On suppose que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée de la machine 1 soit conforme est $p_{1} = 0,914$ et que la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production d'une journée de la machine 2 soit conforme est $p_{2} = 0,879$.
 
La machine 1 fournit 60\,\% de la production totale de ces pièces et la machine 2 le reste de cette production.
 
On prélève au hasard une pièce parmi la production totale de l'entreprise de la journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être tirées.
 
On définit les évènements suivants : 

A : \og la pièce provient de la machine 1 \fg{} ;

B : \og la pièce provient de la machine 2 \fg{} ; 

C : \og la pièce est conforme \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités $P$(A), $P$(B), $P$(C/A), $P$(C/B).
 
(On rappelle que $P$(C/ A) est la probabilité de l'évènement C sachant que l'évènement A est réalisé.) 
\item  En déduire $P(\text{C} \cap \text{A})$ et $P(\text{C} \cap \text{B})$. 
\item  En admettant que C $= (\text{C} \cap \text{A}) \cup (\text{C} \cap \text{B})$, calculer $P$(C). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip
 
\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}
 
On considère l'équation différentielle (E) :

\[ y' - 2 y = \text{e}^{2x}.\]
 
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ sa fonction dérivée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right) : \quad  y' - 2 y = 0$. 
\item  Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = x \text{e}^{2x}$.
 
Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation (E) qui vérifie la condition $f(0) = - 1$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{B. Étude d'une fonction} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (x- 1)\text{e}^{2x}$.
 
Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée dans le repère de l'annexe (à rendre avec la copie). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{2x} = 0$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. 
		\item Interpréter géométriquement le résultat obtenu au b.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ de $\R,~f'(x) = (2x - 1)\text{e}^{2x}$. 
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$. 
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du développement limité au voisinage de $0$ de la fonction exponentielle $t \longmapsto \text{e}^t$ et, donner le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de $0$ de la fonction $ x \longmapsto \text{e}^{2x}$. 
		\item En déduire que le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction $f$ est :
		 
\[f(x) = - 1 - x + \dfrac{2}{3}x^3 + x^3 \epsilon(x)~ \text{avec}~\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]
 
		\item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 et la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage de ce point. 
		\item Tracer $T$ dans le repère de l'annexe. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
 
\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\alpha$ un réel strictement négatif ; on pose $I(\alpha) = \displaystyle\int_{\alpha}^0f(x)\:\text{d}x$. 

Démontrer que $I(\alpha) = -\dfrac{3}{4} - \left(\dfrac{1}{2}\alpha - \dfrac{3}{4} \right)\text{e}^{2\alpha}$. On pourra effectuer une intégration par parties. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $I(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers $- \infty$. 
		\item À l'aide d'une phrase, donner une interprétation graphique de ce résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 10~centimètres.

\medskip
 
\emph{A - Étude de fonctions et tracé d'une courbe paramétrée}

\medskip
 
À tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0~;~1], on associe le point $M(t)$ de coordonnées 

\[x = f(t) = -t^2 + t + \dfrac{1}{2}\quad \text{et} \quad  y = g(t) = \dfrac{t^2}{2}.\]
 
On note $(\mathcal{C})$ la courbe ensemble des points $M(t)$ obtenus lorsque $t$ varie dans [0~;~1].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ sur [0~;~1] et regrouper les résultats dans un même tableau. 
\item Préciser les tangentes à la courbe $(\mathcal{C})$ aux points M(0), M$\left(\frac{1}{2}\right)$ et M(1) obtenus pour $t = 0,~t =  \frac{1}{2}$ et $t = 1$.

Construire ces tangentes et la courbe $(\mathcal{C})$
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{B - Détermination géométrique et tracé d'une seconde courbe paramétrée}

\medskip
 
On donne les points A (1~;~0) et B(1~;~1) par leurs coordonnées.
 
Pour tout nombre $t$ de l'intervalle [0~;~1], soit $N(t)$ le point défini par : 
 
\[\vect{\text{O}N(t)} = \dfrac{(1 - t)^2}{2}\vect{\text{OA}} + \dfrac{t^2}{2} \vect{\text{OB}}.\] 
	 
\begin{enumerate}
\item Montrer que les coordonnées $\left(x_{1}~;~y_{1}\right)$ du point $N(t)$ sont : $x_{1} = \dfrac{1}{2}  - t + t^2$ et $y_{1} = \dfrac{t^2}{2}$. 
\item  Pour tout nombre $t$ de l'intervalle [0~;~1], soit $I(t)$ le milieu du segment $[M(t)N(t)]$, où le point $M(t)$ de coordonnées $(x~;~y)$ est défini dans la partie A et où le point $N(t)$ de coordonnées $\left(x_{1}~;~y_{1}\right)$ est défini dans la partie B.
 
On observe que les points $M(t)$ et $N(t)$ ont la même ordonnée. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'abscisse $\dfrac{x + x_{1}}{2}$ du point $I(t)$ est constante.
		\item En déduire que $N(t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à une droite $(D)$ dont on donnera une équation.
	\end{enumerate} 
\item  On note $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ la courbe ensemble des points $N(t)$ obtenus lorsque $t$ varie dans [0~;~1]. En utilisant la symétrie mise en évidence à la question 2. b., tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ dans le même repère que la courbe $(\mathcal{C})$. 

\bigskip

Les courbes $(\mathcal{C})$ et $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ sont deux cas particuliers d'un même modèle de base intervenant dans les logiciels de conception assistée par ordinateur (CAO) utilisés notamment en mécanique, en aéronautique et dans l'industrie automobile. 
\end{enumerate}
\end{document}