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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright \\ Conception de produits industriels session 2007}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

 \textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle
 
\[(\text{E})~~:\quad  y'' + 2 y' + \dfrac{5}{4}y =  0\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~ y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle (E).
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 0$ et $f' (0) = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude locale d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 2 \text{e}^{-x}  \sin  \dfrac{1}{2}x.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto \text{e}^{-x}.$
		\item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto \sin  \dfrac{1}{2}x$.
		\item Déduire du 1 et du 2 que le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est :

		\[ f(x) = x - x^2 + x^2 \epsilon (x) \quad  \text{avec}~ \lim_{x \to 0} \epsilon (x) = 0.\]
		
	\end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente une équation de la tangente T à la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ au point d'abscisse zéro.
\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et T au voisinage du point d'abscisse zéro.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice  2 \hfill 6 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~3] par 

\[f(x) =  2 \text{e}^{- \frac{1}{2}x} \sqrt{x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 4~cm.

\medskip

\textbf{A. Étude des variations et courbe représentative}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f(0)$ et $f(3)$. Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $f(3)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout $x$ de ]0~;~3], $f'(x) = \dfrac{\text{e}^{-\frac{1}{2}x}(1 - x)}{\sqrt{x}}$.
		\item  En déduire les variations de $f$ sur ]0~;~3].
	\end{enumerate}
\item On admet qu'à l'origine du repère la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ est l'axe des ordonnées. Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré,
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Calcul intégral}
 
\medskip

On considère le solide de révolution engendré par la rotation de la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses. On désigne par $V$ le volume en unités de volume de ce solide.

On admet que $V = \displaystyle\int_{0}^3 \pi[f(x)]^2\:\text{d}x$.

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que $V= \displaystyle\int_{0}^3 4\pi x \text{e}^{-x} \:\text{d}x$.

\item   À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : 

\[V= 4\pi \left(1 -  \text{e}^{-3}\right).\]

\item   Donner une valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $V$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}
 
\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est 2~centimètres.

On souhaite construire la courbe B-spline obtenue à partir de quatre points de définition $P_{1}, P_{2}, P_{3},  P_{4}$ et de trois polynômes de Riesenfeld du second degré. Les quatre points sont donnés par leurs coordonnées dans le repère \Oij :

\[ P_{1}(0~;~1)~ ;~ P_{2}(2~;~ 1)~;~ P_{3}(4~;~ 3)~~ \text{et}~ P_{4}(6~;~ 1).\]

\begin{enumerate}
\item  On rappelle que les polynômes de Riesenfeld $R_{i}$ de degré 2, pour $i$ prenant les valeurs $0,  1$ ou $2$, sont définis pour $t$ appartenant à [0~;~1]  par :

\[R_{i}(t) = 3 \sum_{j=0}^{j=2-i} (- 1)^j \dfrac{(t+2 - i- j)^2}{j!(3- j)!}.\]
	
Montrer que, pour tout $t$ de [0~;~1], ~$ R_{0}(t) = \dfrac{t^2}{2} - t +  \dfrac{1}{2}$. (\textbf{On pourra utiliser ce résultat dans la suite de l'exercice})

\medskip

\textbf{Dans la suite de cet exercice, on admet que, pour tout $t$ de [0~; ~1] :}

\[R_{1}(t) = - t^2 + t+ \dfrac{1}{2}\quad  \text{et} \quad  R_{2}(t)= \dfrac{1}{2} t^2.\]

\item La courbe B-spline $\Gamma$ cherchée est la réunion de deux arcs de courbe $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$. $\Gamma_{1}$ est l'ensemble des points $M_{1}(t)$ tels que
\[\vect{\text{O}M_{1}(t)} =  R_{0}(t) \vect{\text{O}P_{1}(t)} + R_{1}(t)\vect{\text{O}P_{2}(t)} + R_{2}(t) \vect{\text{O}P_{3}(t)}.\]
$\Gamma_{2}$ est l'ensemble des points $M_{2}(t)$ tels que :
\[\vect{\text{O}M_{2}(t)} =  R_{0}(t) \vect{\text{O}P_{2}(t)} + R_{1}(t)\vect{\text{O}P_{3}(t)} + R_{2}(t) \vect{\text{O}P_{4}(t)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'arc de courbe $\Gamma_{1}$ est défini par la représentation paramétrique :
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x_{1}(t)&=&f_{1}(t)&=&2t + 1\\
y_{1}(t)&=&g_{1}(t)&=&t^2 + 1\\
\end{array}\right. 	\:\:	\text{où}~ t ~\text{appartient à l'intervalle [0~;~1]}.\]
		\item  Étudier les variations de $f_{1}$ et $g_{1}$ sur [0~;~1]  et rassembler les résultats dans un tableau unique.
		\item  On admet que l'arc de courbe $\Gamma_{2}$ est défini par la représentation paramétrique:
		
\[\left\{\begin{array}{l c l c r}
x_{2}(t)&=&f_{2}(t)&=&2t + 3\\
y_{2}(t)&=&g_{2}(t)&=&-2t^2 + 2t + 2\\
\end{array}\right. 	~	\text{où}~ t ~\text{appartient à l'intervalle [0 ; 1]}.\]

Étudier les variations de $f_{2}$ et $g_{2}$ sur [0~;~1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.
		\item   Donner des vecteurs directeurs des tangentes à l'arc de courbe $\Gamma_{1}$ aux points $M_{1}(0)$ et $M_{1}(1)$.  
		\item   Donner des vecteurs directeurs des tangentes à l'arc de courbe $\Gamma_{2}$ aux points $M_{2}(0),~M_{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $M_{2}(1)$.
		\item   On rappelle que, dans le repère orthonormal \Oij, l'unité graphique est 2~centimètres.
		
Construire sur une feuille de papier millimétré, les tangentes à l'arc de courbe $\Gamma$ aux points $M_{1}(0)$ et $M_{1}(1)$ puis l'arc de courbe $\Gamma_{1}$. Construire, sur la même figure que $\Gamma_{1}$, les tangentes à l'are de courbe $\Gamma_{2}$ aux points $M_{2}(0), ~M_{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $M_{2}(1)$ puis l'arc de $\Gamma_{2}$.

Placer les points de définition $P_{1},\:P_{2},\:P_{3},\:P_{4}$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Donner les coordonnées du point $I$ où se raccordent les arcs de courbes $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$.
		\item  Montrer que les arcs de courbes $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ ont même tangente en $I$.
		\item  Montrer que la tangente commune à l'arc $\Gamma_{1}$   et à l'are $\Gamma_{2}$ au point $I$ est la droite $\left(P_{2}P_{3}\right)$.
		\item  Montrer que le point $M_{1}(0)$ est le milieu du segment $\left[P_{1}P_{2}\right]$ et que le point $M_{2}(1)$ est le
milieu du segment $\left[P_{3}P_{4}\right]$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}