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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Conception de produits industriels session 2003}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\emph{A Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle

\[ (\text{E})~~ :\quad  y'' + 5y' + 6y = 4\text{e}^{-2x}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~ y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ la fonction dérivée seconde. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (H)~~: $\quad y'' + 5y'+ 6y = 0$. 
\item  Vérifier que la fonction $g(x) =  4x\text{e}^{-2x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 
\item  Déterminer la solution particulière $h$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales $h(0) =  3$ et $h'(0) = - 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{B Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[ f(x) =  (4x + 3)\text{e}^{-2x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de $f$ en  $- \infty$ et $+\infty$. On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-2x} = 0$.
\item   
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer par le calcul que la dérivée $f'$ de $f$ est définie par : 
		
$f'(x) =   (- 8x - 2)\text{e}^{-2x}$.
		\item  Déterminer suivant les valeurs de $x$ le signe de $f'$.
		\item  En déduire les variations de la fonction $f$. On regroupera les résultats dans un tableau de variations en faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide du développement limité de $t \longmapsto \text{e}^{t}$ à  l'ordre 2 au voisinage de $0$, donner le développement limité  à l'ordre 2 au voisinage de $0$ de 
		
$x \longmapsto \text{e}^{-2x}$
		\item En déduire que le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de $0$ de $f(x)$ est : 
		\[f(x)  = 3 - 2x - 2x^2 + x^2\epsilon(x)~\text{avec}~ \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déduire de la question précédente l'équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ en $0$. 
		\item  Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de T au voisinage de $0$.
	 \end{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{C}$ et T.
\end{enumerate}
 
\medskip

\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
\item  Calculer à l'aide d'une intégration par parties la valeur exacte de l'intégrale I $= \displaystyle\int_{- \frac{3}{4}}^{3}	f(x)\:\text{d}x$.
\item  Déterminer l'aire en cm$^2$ à $10^{-2}$ près par défaut, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 3$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\emph{Partie A}

\medskip

Une entreprise fabrique des jetons destinés à un établissement de jeux. On note D la variable aléatoire prenant pour valeur le diamètre en millimètres des jetons et E la variable aléatoire prenant pour valeur l'épaisseur en millimètres des jetons.

On suppose que les variables aléatoires D et E sont indépendantes.

Le cahier des charges de cette entreprise indique que le diamètre doit être égal à $29 \pm 0,4$~mm et que l'épaisseur doit être égale $2 \pm 0,1$~mm.

On admet que la variable aléatoire D suit la loi normale de moyenne $29$ et d'écart type $0,2$ et que la variable aléatoire E suit la loi normale de moyenne $2$ et d'écart type $0,04$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'un jeton pris au hasard dans la production ait un diamètre conforme au cahier des charges.
\item  Calculer la probabilité qu'un jeton pris au hasard dans la production ait une épaisseur conforme au cahier des charges.
\item  En déduire la probabilité qu'un jeton pris au hasard dans la production satisfasse les deux conditions du cahier des charges.
\end{enumerate}
 
\medskip

\emph{Partie B}

\medskip

On suppose que 6\,\% des jetons ne correspondent pas au cahier des charges.

On prélève au hasard dans la production 100~jetons. Vu la quantité de jetons produite par l'entreprise, on peut assimiler ce prélèvement à un tirage successif avec remise.

On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de jetons non conformes au cahier des charges.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la loi de probabilité de X en justifiant la réponse et en précisant les paramètres de cette loi.
\item  Quelle est la probabilité d'avoir un seul jeton non conforme ?
\item  On suppose que l'on peut approcher la loi de X par une loi de Poisson, 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le paramètre de cette loi. 
		\item  Déterminer la probabilité d'avoir exactement 3 jetons ne répondant pas au cahier des charges. 
		\item  Déterminer la probabilité d'avoir au moins 4 jetons ne répondant pas au cahier des charges.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

Soit \Oij{} un repère orthonormal d'unité graphique 1~cm.

On considère la courbe H définie par les équations paramétriques : 
\[
\left\{	\begin{array}{l c l c l}
x&=&f(t)&=&4t^3 + 15t^2 - 18t + 1\\
y&=&g(t)&=&-2t^3 + 6t\\
\end{array}\right.\]
 où $t$ est un paramètre réel appartenant à l'intervalle [0 ~;~1],

\medskip

\emph{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ sur $[0~;~1]$  et rassembler les résultats obtenus dans un même tableau. On indiquera en particulier les images de $0, ~\dfrac{1}{2}$  et $1$ ainsi que la valeur des dérivées en ces points.
\item  Soit A(1~;~0) et B$(- 5~ ;~2)$. Montrer que le vecteur $\vect{\text{AB}}$ est tangent à H en A.
\item  Tracer H ainsi que le vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\emph{Partie B}

\medskip

En fait, la courbe H est une courbe de Bézier définie à partir de quatre points de contrôle A, B, C et D, les coordonnées de D étant (2~;~4).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que la courbe part bien de A pour arriver en D. 
\item  On cherche dans cette question à déterminer les coordonnées du point C.
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le fait que $\vect{\text{DC}}$ est tangent à H en D, déterminer l'ordonnée de C.
		\item  On rappelle qu'une courbe de Bézier à 4 points de contrôle est définie par la relation :

\[(*)\quad  \vect{\text{O}M(t)} = \Sigma_{i = 0}^3  B_{i,3}(t)\vect{\text{O}P_{i}},\]

où les $P_{i}$ sont les points de contrôle et $B_{i,3}(t)$ sont les polynômes de Bernstein définis par $B_{i,3}(t)	= \displaystyle\binom{n}{i} t^i (1 - t)^{n-i}$ avec $\displaystyle\binom{n}{i} = \dfrac{n!}{i!(n - i)!}$.
		\begin{enumerate}
			\item  Donner l'expression développée des polynômes de Bernstein : 
			
$B_{0,3}(t),~ B_{1,3}(t),~ B_{2,3}(t)$ et $B_{3,3}(t)$.
			\item  À l'aide de l'égalité (*), déterminer $x_{\text{C}}$ l'abscisse de C. Tracer alors le vecteur $\vect{\text{DC}}$.
 		\end{enumerate}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}