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% Merci à Philippe Joly pour le sujet
% Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur ~\decofourright\\ Conception de produits industriels session 2009}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}
 
\emph{Pour chacune des questions, une seule réponse A, B, C est exacte.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.} 

\emph{On ne demande aucune justification.}

\textbf{Notation :}
  
\emph{Chaque réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} 

\begin{enumerate}
\item  Soient $M$ et $N$ les matrices définies par $M = \begin{pmatrix}
1&2&-1\\
0&1&\phantom{-}4\\
3&0&-1\\
\end{pmatrix}$ et $N = \begin{pmatrix}2&-1&0\\3&-3&1\\1&\phantom{-}0&2\\
\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Réponse A &Réponse B& Réponse C\\ \hline 
La somme $M + N$ est : &$\left(\begin{array}{c}3\\6\\5\\\end{array}\right)$&$\begin{pmatrix}3&\phantom{-}1&-1\\
3&-2&\phantom{-}5\\
4&\phantom{-}0&\phantom{-}1\\
\end{pmatrix}$&$\begin{pmatrix}2&-2&\phantom{-}0\\0&-3&\phantom{-}4\\3&\phantom{-}0&-2\\ \end{pmatrix}$\\ \hline
\end{tabularx}

\item Avec les mêmes données qu'au \textbf{1.} :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{}&Réponse A& 	Réponse B& 	Réponse C\\ \hline 
Le produit $M \times N$ est :&$\begin{pmatrix}7&-7&\phantom{-}0\\7&-3&\phantom{-}9\\5&-3&-2\\ \end{pmatrix}$& $\begin{pmatrix}2&-2&\phantom{-}0\\0&-3&\phantom{-}4\\3&\phantom{-}0&-2\\\end{pmatrix}$&$\begin{pmatrix}\phantom{-}7&\phantom{-}7&\phantom{-}5\\-7&-3&-3\\\phantom{-}0&\phantom{-}9&-2\\\end{pmatrix}$\\ \hline
\end{tabularx}


\item  \Oijk{} est un repère orthonormal de sens direct de L'espace. On considère les 
vecteurs $\vect{u}\left(\begin{array}{c}\phantom{-}3\\\phantom{-}1\\-2\\\end{array}\right)$  et $\vect{v}\left(\begin{array}{c}-2\\\phantom{-}2\\-2\\\end{array}\right)$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{}&Réponse A& 	Réponse B& 	Réponse C\\ \hline 
Les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont :&orthogonaux &colinéaires &ni orthogonaux 
ni colinéaires\\ \hline 
\end{tabularx}

\item Avec les mêmes données qu'au \text{3.} 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} 
\multicolumn{1}{c|}{}&Réponse A& 	Réponse B& 	Réponse C\\ \hline 
Le produit vec\-toriel  $\vect{u} \wedge \vect{v}$ est : &$\vect{w}\left(\begin{array}{c}-6\\\phantom{-}2\\\phantom{-}4\\\end{array}\right)$&$\vect{0}$&$\vect{w}\left(\begin{array}{c}2\\10\\8\\\end{array}\right)$\\ \hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip 

On considère l'équation différentielle
 
\[(E) : \quad  y' + xy = x. \]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels et $y'$ sa fonction dérivée.
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle 
\[\left(E_{0}\right)  :\quad  y' + xy = 0.\] 
\item  Démontrer que la fonction constante $g$, définie sur $\R$ par $g(x) = 1$, est une solution particulière de l'équation $(E)$. 
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 2$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Étude d'une fonction et réalisation d'une figure}

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = 1 + \text{e}^{- \frac{x^2}{2}}.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{}  d'unité graphique 4~centimètres. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. 
		\item Que peut~on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout réel $x,~ f'(x) = - x\text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$. 
		\item Donner le tableau de variations de $f$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer sur une feuille de papier millimétré la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij{} défini au début de la partie B. 
		\item Tracer dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$ la courbe $\mathcal{P}$ d'équation $y = 2 - \dfrac{x^2}{2}$.
	\end{enumerate} 
\begin{center} \textbf{On ne demande pas d'étudier les variations de la fonction définie par} \boldmath  $x \longmapsto  2  - \dfrac{x^2}{2}$ \unboldmath \end{center}

\medskip
 
\emph{On constate que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ sont proches l'une de l'autre sur l'intervalle $[- 0,5~;~0,5]$.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Détermination d'une valeur approchée d'une intégrale}

\medskip
 
Dans cette partie, on se propose de déterminer une valeur approchée de l'intégrale 

\[l = \int_{-0,5}^{0,5} 	f(x)\:\text{d}x\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle, déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction définie  	par $x \longmapsto  \text{e}^{-\frac{x^2}{2}}$. 
		\item En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la  
fonction $f$ est : $f(x) = 2 - \dfrac{x^2}{2} + x^2\epsilon(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon (x) = 0$. 
	\end{enumerate}		 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On note $J = \displaystyle\int_{-0,5}^{0,5} \left(2 -  \dfrac{x^2}{2}\right)\:\text{d}x$. 

Démontrer que $J = \dfrac{47}{24}$. Donner la valeur approchée de $J$ arrondie à $10^{-3}$. 
	\item Un logiciel donne $I \approx  1,960$. Vérifier que cette valeur approchée de $I$ et la valeur approchée de $J$ obtenue à la question a. diffèrent de $2 \times  10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est 
2~centimètres. On se propose de construire la courbe B-spline obtenue à partir de quatre points de définition $P_{1},~ P_{2},~ P_{3}$ et $P_{4}$ et de trois polynômes de Riesenfeld du second degré.

\medskip 

Les quatre points sont donnés par leurs coordonnées dans le repère \Oij{}: 
\[P_{1}(0~;~3),\: P_{2}(1~;~- 2),\: P_{3}(4~;~3)\:\: \text{et}\:\:P_{4}(2~;~5).\] 

La courbe B-spline cherchée est la réunion de deux arcs de courbe $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$.

\medskip 
 
\textbf{A. Détermination d'une représentation paramétrique de l'arc de courbe} \boldmath$\mathcal{C}_{1}$\unboldmath 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item  On rappelle que les polynômes de Riesenfeld $R_{i}$ de degré 2, pour $i$ prenant les valeurs 0, 1 ou 2, sont définis pour tout $t$ appartenant à $[0~;~1]$ par : 

\[R_{i}(t) =  3 \sum_{j=0}^{j=2-i} (-1)^j \dfrac{(t +2 - i - j)^2}{j! (3 - j)!}.\]

Démontrer que, pour tout $t$ de $[0~;~ 1],~ R_{0}(t) = \dfrac{t^2}{2} - t + \dfrac{1}{2}.$ 

\item  L'arc de courbe $\mathcal{C}_{1}$ est l'ensemble des points $M_{1}(t)$ tels que : 

\[\vect{\text{O}M_{1}(t)} = R_{0}(t)\vect{\text{O}P_{1}(t)}  + R_{1}(t)\vect{\text{O}P_{2}(t)}  + R_{2}(t)\vect{\text{O}P_{3}(t)} .\]
 
\textbf{On admet que} pour tout $t$ de $[0~;~ 1] : R_{1}(t) = - t^2 + t +\dfrac{1}{2} ~\text{et}~ R_{2}(t) = \dfrac{1}{2} t^2$.

Démontrer que l'arc de courbe $\mathcal{C}_{1}$ est défini par la représentation paramétrique : 
 
\[\left\{ \begin{array}{l c l c l}
x& =& f_{1}(t) &=& t^2 + t + \dfrac{1}{2}\\
y&=&g_{1}(t)&=&5t^2 -5t + \dfrac{1}{2}\\
\end{array}\right.  \quad \text{où}~ t ~ \text{appartient à l'intervalle}~ [0~;~1].\] 
 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Étude de variations et construction de la courbe B-spline}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations des fonctions $f_{1}$ et $g_{1}$ sur $[0~;~1]$, où $f_{1}$ et $g_{1}$ sont les fonctions définies à la question 2. de la partie \emph{A}. Rassembler les résultats dans un tableau unique. 
		\item Donner un vecteur directeur de chacune des tangentes à l'arc de courbe $\mathcal{C}_{1}$ aux points $M_{1}(0),\:M_{1}\left(\frac{1}{2}\right),\:M_{1}(1)$. 
	\end{enumerate}
\item L'arc de courbe $\mathcal{C}_{2}$ est l'ensemble des points $M_{2}(t)$ tels que: 

\[\vect{\text{O}M_{2}(t)} = R_{0}(t)\vect{\text{O}P_{2}(t)} + R_{1}(t)\vect{\text{O}P_{3}(t)} + R_{2}(t)\vect{\text{O}P_{4}(t)}.\]
 
On admet que l'arc de courbe $\mathcal{C}_{2}$ est défini par la représentation paramétrique : 
 
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.75}\left\{ \begin{array}{l c l c l}
x&=&f_{2}(t) &=&-\dfrac{9}{2}t^2 +3t + \dfrac{5}{2}\\
y&=&g_{2}(t)&=&-\dfrac{3}{2}t^2 +5t + \dfrac{1}{2}\\
\end{array}\right.\:\text{où}\: t\:\text{appartient à l'intervalle}\: [0~;~1].\] 

Le tableau des variations conjointes des fonctions $f_{2}$ et $g_{2}$ est le suivant : 

\begin{center}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,7)
\psframe(10,7) \psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(0,3)(10,3) 
\psline(0,5.5)(10,5.5)  \psline(0,6)(10,6) \psline(2,0)(2,7) \psline(0,6.5)(10,6.5)
\uput[u](1,6.5){$t$} \uput[u](2.15,6.5){$0$} \uput[u](6,6.35){$\frac{1}{3}$} \uput[u](9.8,6.5){$1$}
\uput[u](1,5.9){$f'_{2}(t)$} \uput[u](2.15,6){3} \uput[u](4,6){+} \uput[u](6,6){0}\uput[u](8,6){$-$} \uput[u](9.8,6){$-6$}
\rput(1,4.25){$f_{2}(t)$}  \rput(2.15,3.25){$\frac{5}{2}$} \uput[d](6,5.5){3} \uput[u](9.8,3){1}
\uput[u](1,2.4){$g'_{2}(t)$} \uput[u](2.15,2.4){5} \uput[u](6,2.5){+} \uput[u](9.8,2.5){2}
\rput(1,1.25){$g_{2}(t)$} \uput[u](2.15,0){$\frac{1}{2}$} \rput(6,1.25){2} \uput[d](9.8,2.5){4}
\psline{->}(2.4,3.2)(5.7,5)\psline{->}(6.3,5)(9.6,3.2)
\psline{->}(2.4,0.4)(9.6,2.1)
\end{pspicture}
\end{center}

Donner un vecteur directeur de chacune des tangentes à l'arc de courbe $\mathcal{C}_{2}$ aux points $\mathcal{C}_{1}$ aux points $M_{2}(0),~ M_{2}\left(\frac{1}{3}\right),~ M_{2}(1)$. 

\item On rappelle que le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est 2~centimètres. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur une feuille de papier millimétré, les tangentes à l'arc de courbe $\mathcal{C}_{1}$ aux points $M_{1}(0),~ M_{1}\left(\frac{1}{2}\right)$ et $M_{1}(1)$, puis l'arc de courbe $\mathcal{C}_{1}$.  
		\item Construire, sur le même graphique, les tangentes à l'arc de courbe $\mathcal{C}_{2}$ aux points $M_{2}(0),~M_{2}\left(\frac{1}{3}\right),~M_{2}(1)$, puis l'arc de courbe $\mathcal{C}_{2}$.  
		\item Placer les points de définition sur la figure.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées du point $I$ où se raccordent les arcs de courbe $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. 
		\item Montrer que la tangente commune à l'arc $\mathcal{C}_{1}$ et à l'arc $\mathcal{C}_{2}$ au point $I$ est la droite $\left(P_{2}P_{3}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}