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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Conception de produits industriels session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\begin{center}
\textbf{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\medskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle

\[(E) ~~: \quad y'' + 2y' + 5y = - 5x^3 + 4x^2 - 3x + 2\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$ , $y'$ sa fonction dérivée et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions de l'équation différentielle
 
\[\left(E_{0}\right)~~ :\quad  y'' + 2y' + 5y = 0.\]

\item  Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) =  - x^3 + 2x^2 - x$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item  Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 0$ et $f'(0) = 1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{B. Étude locale d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{-x} \sin 2x - x^3 + 2x^2 - x.\]

\begin{enumerate}
\item  À l'aide du développement limité de la fonction $t \longmapsto \text{e}^t$ , à l'ordre 3 au voisinage de $0$, écrire le développement limité, à l'ordre 3 au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto \text{e}^{-x}$.
\item  Écrire le développement limité, à l'ordre 3 au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto \sin 2x$.
\item En déduire le développement limité, à l'ordre 3 au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto \text{e}^{-x} \sin 2x.$
\item  En déduire que le développement limité, à l'ordre $3$ au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est

\[f(x) = x - \dfrac{4}{3}x^3 +x^3 \epsilon(x)~ \text{avec}~		\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\] 

\item  Déduire de la question précédente une équation de la tangente T à la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ au point d'abscisse zéro.
\item  Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et T au voisinage du point d'abscisse zéro.
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}
\end{center}

Une usine fabrique, en grande quantité, un certain type de pièces métalliques pour l'industrie.

\medskip

\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

Les pièces sont produites dans deux ateliers appelés « atelier 1 » et « atelier 2 ».

L'atelier 1 produit chaque jour 250 pièces et l'atelier 2 produit chaque jour 750 pièces.

On admet que 1\,\% des pièces produites par l'atelier I sont défectueuses et que 2\,\% des pièces produites par l'atelier 2 sont défectueuses.
  
On prélève une pièce au hasard dans l'ensemble des \np{1000}~pièces produites par les deux ateliers pendant une journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées.
   
On considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[]  $A$ : « la pièce prélevée provient de l'atelier 1 » ; 
\item[] $B$ : « la pièce prélevée provient de l'atelier 2 » ;
\item[] $D$ : « la pièce prélevée est défectueuse ».
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déduire des informations figurant dans l'énoncé $P(A),~ P(B),~ P(D/A)$ et $P(D/B)$.  (On rappelle que $P(D/A) = P_{A}(D)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.)
\item  Calculer $P(D \cap A)$ et $P(D \cap B)$.
\item  En déduire la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production de la journée soit défectueuse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip

\textbf{Dans cette question, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$.\unboldmath

\medskip

On considère un stock important de pièces de ce modèle.

On note $E$ l'évènement : «une pièce prélevée au hasard dans le stock est défectueuse ».
 
On suppose que $P(E) =  0,02$.

On prélève au hasard dix pièces dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de dix pièces. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de dix pièces, associe le nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item   Calculer la probabilité qu'aucune pièce de ce prélèvement ne soit défectueuse.
\item   Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, une pièce au moins soit défectueuse.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip

On envisage de créer une nouvelle police de caractère. On s'intéresse plus précisément à la lettre P et on utilise des courbes de Bézier pour définir les contours de cette lettre.

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~centimètres.

\begin{enumerate}
\item  On souhaite construire la courbe de Bézier $\mathcal{C}_{1}$  définie par les points de définition suivants donnés par leurs coordonnées $A_{0}(0~;~ 3)~;~ A_{1}(4~;~3)~ ;~ A_{2}(4~;~6)$ et $A_{3}(0~;~6)$.

On rappelle que la courbe de Bézier définie par les points de définition $A_{i}(0 \leqslant  i \leqslant  n)$ est l'ensemble des points $M(t)$ tels que

\[\vect{\text{O}M(t)} = \sum_{0}^n B_{i,~n}(t) \vect{\text{O}A_{i}}~\text{où} ~ B_{i,~n}(t) = \text{C}_{n}^i  t^i(1 - t)^{n-i}\]

	\begin{enumerate}
		\item  Développer, réduire et ordonner les polynômes $B_{i,~3}(t)$, avec $0 \leqslant i  \leqslant 3$.
		\item  On note $\left(f_{1}(t),~ g_{1}(t)\right)$ les coordonnées du point $M_{1}(t)$ de la courbe $\mathcal{C}_{1}$.\\ Vérifier que, pour tout $i$ de [0 ; 1], $f_{1}(t) = 12t - 12t^2$.\\
		 On admettra dans la suite de l'exercice que $g_{1}(t) =  3 +9t^2 -  6t^3.$
		 

Un système d'équations paramétriques de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ est donc : 
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x&=& f_{1}(t)&=& 12t - 12t^2\\
y&=&g_{1}(t)&=&	3 + 9t^2  - 6t^3\\
\end{array}\right. ~\text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0 ; 1]}\]
		\item  Étudier les variations de $f_{1}$ et $g_{1}$ sur [0 ;  1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.
		\item  Préciser les coordonnées des points de $\mathcal{C}_{1}$ où les tangentes â $\mathcal{C}_{1}$ sont parallèles à l'axe des abscisses.
		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et les tangentes parallèles aux axes sur une feuille de papier millimétré.
	\end{enumerate}
 
\item Soit $\mathcal{C}_{2}$ une courbe de Bézier définie par les trois points de définition suivants donnés par leurs coordonnées : $A_{0}(0~;~3)~;~ A_{4}\left(0~;~\dfrac{1}{4}\right )~  ;~ A_{5}(- 2~;~0)$.

La courbe $\mathcal{C}_{2}$ est définie paramétriquement par :
 
\[\left\{\begin{array}{l c l c r}
x&=&f_{2}(t)&=& - 2t^2\\
y&=&g_{1}(t)&=&	3 - \dfrac{11}{2}t   +  \dfrac{5}{2}t^2\\
\end{array}\right.~\text{où}~t~\text{appartient à l'intervalle [0 ; 1]}\]

Le tableau des variations conjointes de $f_{2}$ et $g_{2}$ est le suivant :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,7)
\psframe(8,7)
\psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3) \psline(0,5)(8,5) \psline(0,6)(8,6)
 \psline(2,0)(2,7)
\uput[u](1,6){$t$} \uput[u](2.1,6){$0$} \uput[u](7.8,6){$1$} \uput[u](1,5){$f'_{2}(t)$}  
\uput[u](2.1,5){$0$} \uput[u](5,5){$-$} \uput[u](7.7,5){$-
4$} \uput[d](1,4){$f_{2}(t)$}  
\uput[d](2.1,5){$0$} \uput[u](7.7,3){$-2$} \uput[u](1,2){$g'_{2}(t)$} \uput[u](2.4,2){$- \frac{11}{2}$}  
 \uput[u](5,2){$-$} \uput[u](7.7,2){$- \frac{1}{2}$} \uput[u](1,0.5){$g_{2}(t)$} \uput[d](2.1,2){$3$} \uput[u](7.8,0){$0$} 
 \psline{->}(2.3,4.8)(7.5,3.3)
  \psline{->}(2.3,1.8)(7.5,0.3)    
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ au point $A_{5}$.
		
Quelle est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ en $A_{0}$ ?
		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{2}$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}_{1}$. Construire la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ en $A_{5}$ ainsi que le point $A_{4}$ et le segment $[A_{0}A_{3}]$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}