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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Conception de produits industriels session 2005}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties A, B, C de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\textbf{A.} On considère l'équation différentielle
 
\[(E_{1})~~:\quad  y' + y = - \text{e}^{-x}.\]
 
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$, et $y'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E_{0})~~ :\quad  y' + y = 0$.
\item   Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - x\text{e}^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E_{1})$.

\item   En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E_{1})$.
\item   Déterminer la solution particulière $f_{1}$ de l'équation différentielle $(E_{1})$ qui vérifie la condition initiale $f'_{1}(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B.} Soit $g$ la fonction définie sur R par $g(x) =  - x\text{e}^{-x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $I = \displaystyle\int_{0}^{0,1} g(x)\:\text{d}x$.

Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $I = 1,1\text{e}^{-0,1} - 1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du développement limité au voisinage de $0$ de la fonction exponentielle $t \longmapsto \text{e}^t $, donner le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$ de la fonction $x \longmapsto  \text{e}^{-x}$.
		\item En déduire que le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de $0$ de la fonction
$g$ est :

		\[ g(x) = -x + x^2 - \dfrac{x^3}{2} + x^3\epsilon(x) ~\text{avec}~ \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]

	\end{enumerate}
\item On note $J = \displaystyle\int_{0}^{0,1} \left(-x + x^2 - \dfrac{x^3}{2}\right)\:\text{d}x$.

Démontrer que $J =  - \dfrac{\nombre{0,1123}}{24}$.
\item On considère l'affirmation suivante : le nombre  $I - J$ est inférieur à $10^{-6}$. Cette affirmation est-elle vraie ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C.} On considère l'équation différentielle 

\[(E_{2})~~:\quad  y'' - y = 2\text{e}^{-x}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$, et $y'$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)~~:\quad  y'' -  y = 0$.
\item  On admet que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - x\text{e}^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E_{2})$. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E_{2})$.
\item  Déterminer la solution particulière $f_{2}$ de l'équation différentielle $(E_{2})$ qui vérifie les conditions initiales $f_{2}(0) = 0$ et $f'_{2}(0) = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}

Dans le cadre d'accords sur la formation professionnelle, une grande entreprise a proposé à ses personnels un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel de conception industrielle.

\begin{center}
\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à}\boldmath  $10^{-2}$. \unboldmath
\end{center}

\textbf{A.}

\medskip

On note $E$ l'évènement : \og une personne de l'entreprise dont le nom a été tiré au hasard a suivi le stage \fg.
 
On suppose que $P(E) =  0,3$.
  
On tire au hasard le nom de $n$ personnes de cette entreprise. On suppose l'effectif suffisamment important pour pouvoir assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans celle question on prend $n = 15$.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 15~noms, associe le nombre de personnes ayant suivi le stage.
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres,
		\item  Déterminer la probabilité qu'une personne au plus parmi les 15 dont le nom a été tiré au hasard ait suivi le stage.
	\end{enumerate}
\item	Dans cette question on prend $n =  150$.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 150~noms, associe le nombre de personnes ayant suivi le stage.

On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres \\$n = 150$  et $p = 0,3$.

On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de moyenne $45$ et d'écart type $5,6$.

On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $45$ et d'écart type $5,6$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les paramètres de cette loi normale.
		\item Calculer la probabilité qu'au plus 40~personnes, parmi les $150$ dont le nom a été tiré au hasard, aient suivi le stage, c'est à dire calculer 
		
$P(Z \leqslant 40,5 )$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B.}

\medskip

Dans cette entreprise 45\,\% du personnel a un niveau de qualification supérieur ou égal à \og bac + 2 \fg.

\medskip

L'évènement $A$ : \og une personne de l'entreprise dont le nom a été tiré au hasard a un niveau supérieur ou égal à bac + 2 \fg a donc pour probabilité $P(A) = 0,45$.

On rappelle que l'évènement $E$ : \og une personne de l'entreprise dont le nom a été tiré au hasard a suivi le stage \fg a pour probabilité $P(E) = 0,3$.

Enfin, 35\:\% des personnes dont le niveau de qualification est supérieur ou égal à \og bac + 2 \fg ont suivi le stage. Ce qui permet d'en déduire la probabilité conditionnelle $P_{A}(E) = 0,35$,ou $P(E | A) = 0,35$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité de l'évènement : \og une personne de l'entreprise dont le nom a été tiré au hasard a suivi le stage et a un niveau de qualification supérieur ou égal à bac + 2 \fg.

\item  Calculer la probabilité de l'évènement : \og une personne dont le nom a été tiré au hasard parmi les noms des personnes ayant suivi le stage a un niveau supérieur ou égal à bac + 2 \fg.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~cm.

\medskip

À tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0~;~2], on associe le point $M(t)$ de coordonnées : 

\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x&=&f(t)&=&t^3 - 3t^2 + 3t\\
y(t)&=&g(t)&=&[\ln (1 + t)]^2.\\
\end{array}\right.
\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe ensemble des points $M(t)$ obtenus lorsque $t$ varie dans [0~;~2].


\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ sur [0~;~2] et regrouper les résultats dans un même tableau.
\item  Donner un vecteur directeur pour chacune des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points $M(0),~ M(1)$ et $M(2)$, obtenus pour $t = 0,~t = 1$ et $t = 2$.
\item  Tracer les tangentes définies à la question \textbf{2.} et la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}