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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Conception de produits industriels session 2004}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
\end{center}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{Une entreprise fabrique, en grande série, des pièces mécaniques, dont une vue en coupe est représentée ci-contre.

Une telle pièce est acceptée après contrôle si sa cote $x$, exprimée en millimètres, est comprise dans l'intervalle [49,8~;~50,2] et si sa
cote $y$, exprimée en millimètres, est comprise	dans l'intervalle [59,9~;~ 60,1].} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(5,3.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1)(0,3.2)(1,3.2)(1,2)(3.9,2)(3.9,3.2)(4.9,3.2)(4.9,1)
\psline[linestyle=dashed](1,2)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](3.9,2)(3.9,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1,0)(3.9,0)
\psline[linestyle=dashed](3.9,2)(5.5,2)
\psline[linestyle=dashed](3.9,3.2)(5.5,3.2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.5,2)(5.5,3.2)
\uput[l](5.5,2.6){$x$} \uput[u](2.45,0){$y$}
\end{pspicture}}

\begin{center}
\textbf{Dans cet exercice les résultats approchés seront à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$.\unboldmath
\end{center}

\emph{A. Loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On suppose que la variable aléatoire $X$, qui à une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée associe sa cote $x$, suit la loi normale de moyenne $50$ et d'écart type $0,09$.

Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée soit acceptée par le contrôle pour la cote $x$.
\item   On suppose maintenant que la variable aléatoire $Y$, qui à une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée associe sa cote $y$, suit la loi normale de moyenne $60$ et d'écart type $\sigma$.

Déterminer la valeur de $\sigma$ pour qu'une pièce prélevée au hasard dans la production d'une journée soit acceptée par le contrôle, pour la cote $y$, avec une probabilité égale à $0,95$.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{B. Évènements indépendants}

\medskip

On prélève une pièce au hasard dans un lot de ce type de pièces.

On appelle $E_{1}$ l'évènement : \og la pièce est défectueuse pour la cote $x$ \fg et $E_{2}$ l'évènement : \og la pièce est défectueuse pour la cote $y$ \fg.

On suppose que les deux évènements $E_{1}$ et $E_{2}$ sont indépendants, que $P\left(E_{1}\right) = 0,03$  et que $P\left(E_{2}\right) = 0,05$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans le lot soit défectueuse pour les deux cotes $x$ et $y$.
\item  Une pièce est jugée défectueuse si elle l'est pour au moins une des deux cotes $x$ ou $y$. Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans le lot soit défectueuse.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{C. Somme de deux variables aléatoires}

\medskip

On prélève au hasard deux pièces dans un stock, pour les assembler comme l'indique la figure ci-dessous. Le stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de deux pièces.\\

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.9,4.4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,1)(3.9,3.4)
\psline(0,2.2)(1,2.2)
\psline(3.9,2.2)(4.4,2.2)
\psline[linestyle=dashed](3.9,3.4)(6,3.4)
\psline[linestyle=dashed](3.9,1)(6,1)
\psline[linestyle=dashed](3.9,2.2)(6,2.2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6,1)(6,2.2)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(6,2.2)(6,3.4)
\uput[l](6,1.6){$x_{2}$}\uput[l](6,2.8){$x_{1}$}
\end{pspicture}
\end{center}

On désigne par $X_{1}$ la variable aléatoire qui associe à la première pièce tirée sa cote $x_{1}$, et par $X_{2}$, la variable aléatoire qui associe à la deuxième pièce tirée sa cote $x_{2}$.\\
On admet que les variables aléatoires $X_{1}$ et $X_{2}$ suivent la même loi normale de moyenne $50$ et d'écart type $0,09$ et que $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes.

On appelle $Z$ la variable aléatoire définie par $Z =  X_{1} + X_{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $Z$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d'écart type $0,13$.
\item  Un tel assemblage est jugé défectueux si la somme $x_{1} + x_{2}$ est inférieure à $99,8$~mm.

Calculer la probabilité qu'un tel assemblage soit défectueux,
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\medskip

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{F})~~ :\quad  y" + 2 y' + y = - 2\text{e}^{-x}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~ y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y"$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)~~ y'' + 2y' + y =  0$.
\item  Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) =  -x^2 \text{e}^{-x}$.

Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0) =  4$ et $f(2) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude d'une fonction}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthogonal \Oij{} de la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \left(4 - x^2\right)\text{e}^{-x}. \]

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(7,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(7,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=1pt,griddots=10](0,0)(-3,-4)(7,10)
\uput[u](7,0){$x$} \uput[l](0,10){$y$} \uput[ul](-1.5,8){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.1175}{7}{ 4 x dup mul sub 2.71828 x exp div}
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2,0)(2,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^x}{x^2}	= +\infty$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item Que peut-on déduire du a. pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout $x$ de $\R,~ f'(x) =  \left(x^2 - 2x -4\right)\text{e}^{-x}$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$. (On donnera les valeurs exactes des solutions de l'équation
$f (x) =  0$.)
		\item  En déduire le tableau de variations de $f$. On fera figurer dans ce tableau les valeurs approchées arrondies à $10^{- 2}$ des éventuels extremums de $f$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto  \text{e}^{-x}$.
		\item  Démontrer que le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$
est $f(x) = 4 - 4x + x^2 + x^2\epsilon(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$.
		\item  Déduire du b. une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		\item  Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ définie dans la partie B est une solution de l'équation différentielle (E) de la partie A. Donc, pour tout $x$ de $\R,~ f(x) = -f''(x) -  2f'(x) - 2 \text{e}^{-x}$.

En déduire qu'une primitive $F$ de $f$ est définie sur $\R$ par :

\[F(x) = \left(x^2 + 2x - 2\right)\text{e}^{-x}.\]

\item 	On note $I = \displaystyle\int_{-2}^2 f(x)\:\text{d}x$.

Démontrer que $I = 2\text{e}^2 + 6\text{e}^{-2}$.
\item 	Donner une interprétation graphique de $I$.
\end{enumerate}
\end{document}