\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{Session 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Comptabilité et gestion  session 2002}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées	de manière indépendante} 
\end{center}

Afin d'augmenter son chiffre d'affaires, un magasin d'appareils électroménagers réalise un investissement pour rénover son rayon des ventes et effectuer une campagne publicitaire.\\
Cet exercice propose une étude du coût, des recettes et du bénéfice de cette opération financière, pendant l'année qui suit sa réalisation.\\
Les données financières sont exprimées en milliers d'euros (k\euro) et les résultats demandés seront arrondis à $10^{-1}$ près.\\

\medskip

\textbf{Partie A étude du coût}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le coût de l'opération financière s'élève la fin du 1\up{er} mois à 50~k\euro{} et à la fin du 2\up{e} mois à 46 k\euro.

Calculer la diminution en pourcentage du coût entre le premier et le deuxième mois.
\item  On note $u_{n}$ le coût exprimé en kg de l'opération financière à la fin du $n$-ième mois ($1 \leqslant n \leqslant 12$), ainsi
$u_{1} = 50$ et $u_{2} = 46$. On admet que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,92$.

Calculer $u_{12}$.

\item  En fait le coût mensuel de l'opération financière suit une évolution légèrement différente et peut être modélisé par la fonction $f$ définie sur [1~;~12] par :

\[f(t) = \dfrac{108}	{1 + \text{e}^{0,15t}}.\]

On admet que $f(t)$ représente le coût mensuel, exprimé en k\euro, comptabilisé à la fin du $t$-ième mois.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~12]. En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle [1~;~12].
		\item En annexe, deux courbes sont tracées. L'une représente la fonction $f$.
		
La reconnaître; expliquer.
		\item Déterminer graphiquement, en faisant figurer les tracés utiles, durant quel mois le coût mensuel devient inférieur à 30~k\euro.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B étude des recettes}

\medskip

On admet que le montant mensuel des recettes peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur l'intervalle [1~;~12] par :

	\[g(t) = 2(18 - t)\text{e}^{0,1t}.\]
	
Ainsi $g(t)$ représente le montant des recettes, exprimées en k\euro, comptabilisées la fin du $t$-ième mois.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $g'(t) = 0,2 (8 - t)\text{e}^{0,1t}$,  pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~12]. En déduire le tableau de variations de $g$.

\item  On veut calculer l'intégrale $I= \displaystyle\int_{1}^{12} g(t)\:\text{d}t$.

	\begin{enumerate}
		\item  On considère la fonction $G$ définie par $G(t) = 20(28 - t)\text{e}^{0,1t}$.
		
Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle [1~;~12]. 
		\item  En déduire la valeur de $I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : étude du bénéfice}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La courbe représentant la fonction $g$ est tracée en annexe, la reconnaître.

\item  Déterminer graphiquement, à partir de quel mois l'opération financière devient bénéficiaire.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill}

\medskip

Dans une station de sports d'hiver, une étude statistique est réalisée dans le but d'étudier la durée d'attente au pied des remontées mécaniques. \\Dans ce problème, on s'intéresse à l'étude de la durée d'attente, exprimée en minutes, au pied d'une remonté mécanique particulière.

\medskip

\textbf{Partie A : étude de la durée d'attente en début de journée}

\medskip

On désigne par A et B les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[]  $A$ : \og la durée d'attente lors de la première montée est supérieure à 3~minutes \fg{} ; 
\item[] $B$ : \og la durée d'attente lors de la deuxième montée est supérieure à 3~minutes \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Des observations permettent d'admettre que $p(A) =  0,2$.

De plus, on constate que :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item  si la durée d'attente lors de la première montée est supérieure à 3 minutes, la probabilité que la duré d'attente lors de la deuxième montée soit supérieure à 3~minutes est $0,3$ ; 
\item  si la durée d'attente lors de la première montée est strictement inférieure à 3~minutes, la probabilité que la durée d'attente lors de la deuxième montée soit supérieure à 3~minutes est $0,5$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.
		
Calculer les probabilités des évènements $\overline{A},~ A \cap B$ et $\overline{A} \cap B$.
		\item  En déduire que $p(B) = 0,46$.
	\end{enumerate}
\item  Un skieur emprunte cinq fois consécutives cette remontée dans les conditions décrites précédemment.

On appelle $X$ la variable aléatoire exprimant le nombre de remontées où la durée d'attente est supérieure 3~minutes. $X$ suit-elle une loi binomiale ? Justifiez votre réponse.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B étude de l'effet du renouvellement de le remontée mécanique}

\medskip

On renouvelle cette remontée mécanique en vue d'améliorer son débit.\\ On étudie les nouvelles durées d'attente aux moments de forte affluence pour cette nouvelle remontée.

À cet effet, on considère un échantillon de 100~skieurs pris au hasard et on constate que la moyenne des durées d'attente pour cet échantillon est 5,3~minutes et que l'écart type est 2,5~minutes. Le nombre de skieurs est suffisamment grand pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note $Z$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~skieurs prélevés au hasard et avec remise dans l'ensemble des skieurs, associe la moyenne des durées d'attente pour cette nouvelle remontée. On suppose que $Z$ suit la loi normale de moyenne inconnue $m$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À partir des informations portant sur l'échantillon, calculer, à 0,01~près, une estimation ponctuelle de $\sigma$.
\item  À partir des informations portant sur l'échantillon, donner une estimation de la moyenne $m$ des durées d'attente au pied de la nouvelle remontée mécanique par un intervalle de confiance avec le coefficient de confiance de 95\:\%. On prendra pour $\sigma$ l'estimation obtenue à la question précédente. On donnera des valeurs arrondies à 0,1~près des bornes de l'intervalle.
\item  Cette étude permet-elle d'affirmer que la durée d'attente moyenne pour l'ensemble des skieurs au pied de cette nouvelle remontée mécanique est inférieure à 6~minutes ? Justifiez voire réponse.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(16,55)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(16,55)
%\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(16,55)
\multido{\n=0+0.1}{161}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,55)}
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,55)}
\multido{\n=0+0.25}{221}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(16,\n)}
\multido{\n=0+2.5}{23}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(16,\n)}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{1}{12}{108 2.71828 0.15 x mul exp 1 add div}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000]{1}{12}{36 2 x mul sub 2.71828 0.1 x mul exp mul}
\uput[r](12,40){$\mathcal{C}$}
\uput[r](12,15.2){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}