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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion}}
\rfoot{\small{Session 2001}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Comptabilité et gestion  session 2001}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill}

\medskip

\begin{center}Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.\end{center}

Une entreprise de loisirs qui possède 60~bateaux les loue à la semaine. Cet exercice propose une étude de la rentabilité de cette activité pour une semaine fixée.

Les données financières sont exprimées en milliers de francs (kF) et les résultats demandés seront arrondis à $10^{-2}$ près.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude du coût de fonctionnement hebdomadaire}

\medskip

Le coût de fonctionnement hebdomadaire $C(q)$, exprimé en milliers de francs, correspondant à la location d'un nombre $q$ de bateaux est donné par :
\[C(q) = 15 + 2q - 20 \ln (0,1 q + 1).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $C(10)$ et $C(20)$. Le coût de fonctionnement hebdomadaire est-il proportionnel au nombre de bateaux loués ?
		\item  Déterminer le pourcentage d'augmentation du coût de fonctionnement hebdomadaire lorsque le nombre de bateaux loués passe de $10$ à $20$.
	\end{enumerate}
\item	Afin d'étudier le coût de fonctionnement hebdomadaire, on considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~60]$ par :
\[f(x) = 15 + 2x - 20 \ln(0,1x + 1).\]

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $f'(x)  = \dfrac{0,2x}{0,1x + 1}$  pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~60]$. En déduire le sens de variation de $f$.

		\item  Calculer le coût de fonctionnement hebdomadaire maximal (exprimé en milliers de francs).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude du bénéfice}
 
\medskip

Chaque bateau est loué \nombre{3000}~F la semaine. Le bilan financier hebdomadaire $B(q)$, exprimé en milliers de francs, correspondant à la location d'un nombre $q$ de bateaux est donc donné par :

\[B(q) = 	q + 20\ln (0,1 q + 1) - 15.\]

\begin{enumerate}
\item  Afin d'étudier ce bilan, on considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~60]$ par:

\[g(x) = x + 20\ln (0,1x + 1) - 15.\]
Déterminer le sens de variations de la fonction $g$.

\item  Sur l'annexe jointe au sujet :
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau de valeurs de la fonction $g$.
		\item  Construire la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $g$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 3~cm pour 10~bateaux sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 5~kF sur l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}
\item 	Déterminer graphiquement, en faisant figurer les tracés utiles, le nombre minimum de bateaux que l'entreprise doit louer pendant cette semaine pour obtenir :
	\begin{enumerate}
		\item  Un bénéfice (positif),
		\item  Un bénéfice supérieur à 20~kF.
	\end{enumerate} 
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill}

\medskip
\emph{Dans ce problème, on s'intéresse à une production de pots de confiture dans une usine.}

\begin{center} \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées séparément}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
On s'intéresse, dans cette partie, à la masse des pots produits.

On considère l'évènement : \og un pot a une masse inférieure à 490~grammes \fg. 

\textbf{Une étude a permis d'admettre que la probabilité de cet évènement est 0,2.}

\begin{enumerate}
\item  On prélève au hasard 10 pots dans la production totale. On suppose que le nombre de pots est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pots.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 10~pots, associe le nombre de pots dont la masse est inférieure à 490~grammes.
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale.
		
En préciser les paramètres.
		\item 	Calculer la probabilité de l'évènement A \og parmi les $10$~pots, il y a exactement 2~pots dont la masse est inférieure à 490~grammes \fg.
	\end{enumerate}
\item On prélève au hasard 100~pots dans la production totale. On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 100~pots, associe le nombre de pots dont la masse est inférieure à 490~grammes.

On admet que la loi de la variable aléatoire $Y$ peut être approchée par une loi normale.

Soit $Z$ une variable aléatoire suivant cette loi normale.
	\begin{enumerate}
		\item  Expliquer pourquoi les paramètres de la loi de $Z$ sont $20$ et 4.
		\item 	Calculer la probabilité de l'évènement B \og parmi les 100~pots, il y a au plus 18~pots dont la masse est inférieure à 490~grammes \fg, c'est-à-dire calculer $P(Z  \leqslant 18,5)$.
		\item 	Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(Z \leqslant  n) > 0,80$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Les masses, exprimées en grammes, observées pour un échantillon de 100~pots pris au hasard et avec remise dans la production totale, ont donné les résultats suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Masse en grammes&	[470~;~480[&[470~;~480[&	[490~;~500[&	[500~;~ 510[&	[510~;~520[\\ \hline
Nombre de pots&	7&	13&43	&27 &	10\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item On considère que les éléments de chaque classe sont situés en son centre. Dans cette situation, calculer la moyenne et une valeur approchée à $10^{-2}$ près de l'écart type de cet échantillon.
		
On utilisera les fonctions statistiques de la calculatrice.
		\item 	À partir des informations précédentes, donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$ et de l'écart type $s$ de la production totale (pour cette dernière, on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près).
	\end{enumerate}

\item Le fabricant fait régler sa machine pour que la masse des pots produits soit 505~grammes.

Soit $S$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~pots prélevés au hasard et avec remise dans production totale, associe la moyenne des masses des 100~pots de cet échantillon.

On admet que $S$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\dfrac{s}{10}$.

On se propose de construire un test bilatéral permettant de vérifier, au seuil de signification 5\:\%, l'hypothèse selon laquelle la machine est correctement réglée.

On choisit comme hypothèse nulle H$_{0}  : \mu = 505$ et comme hypothèse alternative H$_{1} : \mu = 	505$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la région critique au seuil de signification 5\:\%.
		\item 	Énoncer la règle de décision.
		\item 	Utiliser le test avec l'échantillon de la question B. 1.
		
Conclure.
	\end{enumerate} 
 \end{enumerate}
 
 \newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.189cm,yunit=0.126cm}

\begin{pspicture}(0,-15)(63.333,95)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=60,Dy=80]{->}(0,0)(0,-15)(63.333,95)
\uput[d](10,0){10}\uput[l](0,-15){$-15$}\uput[l](0,5){5}
\multido{\n=0+0.3333}{190}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-15)(\n,95)}
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\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0&5&10&20&30&40&60\\ \hline
$g(x)$&$-15$&&&26,97&&&  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}