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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{Session 2004}}
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\begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Comptabilité et gestion des organisations session 2004}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{A. Étude d'une fonction logistique}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0 ~;~40] par

\[ f(t) = \dfrac{1}{1 + 99 \text{e}^{-0,26t}}.\]
	
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.  On prendra comme unités 1~cm pour 5 sur l'axe des abscisses et 1~cm pour $0,1$ sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout réel $t$ de [0~;~40],

\[f'(t) = \dfrac{25,74\text{e}^{-0,26t}}{\left(1 + 99 \text{e}^{-0,26t}  \right)^2}.\]

		\item  Étudier le signe de $f'(t)$ sur [0~;~40] et en déduire le tableau de variations de $f$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-3}$.
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&	0&5&10&15&20&25&30&35&40\\ \hline
$f(t)$&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}$.
 	\end{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(t) = 0,8$.\\
On fera apparaître sur la figure les constructions utiles.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que, pour tout réel $t$ de [0~;~40],

\[f(t) = \dfrac{\text{e}^{0,26t}}{99 + \text{e}^{0,26t}}.\]

\item  Soit $F$ la fonction définie sur [0~;~40] par : $F(t) = \dfrac{1}{2,6} \ln \left(99 +\text{e}^{0,26t}\right)$.

Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur [0~;~40].
\item  Démontrer que la valeur moyenne de $f$ sur [30~;~40] est :	$V_{m}	= \dfrac{1}{2,6} \ln \dfrac{99 +\text{e}^{10,4}}{99 +\text{e}^{7,8}}$.
(On rappelle que $\ln a - \ln b = -\ln \dfrac{a}{b}$ où $a > 0$ et $b > 0$.)
\item  Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $V_{m}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Application des résultats des parties A et B}

\medskip

On suppose que $f(t)$ donne te pourcentage de foyers français équipés d'un téléviseur, entre 1954 et 1994, $t$ étant le rang de l'année à partir de 1954.

Par exemple $f(0)  \approx 0,01$ se traduit par : en 1954, 1\,\% des foyers étaient équipés d'un téléviseur.

$f(10) \approx  0,12$ se traduit par: en 1964, 12\,\% des foyers étaient équipés d'un téléviseur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le pourcentage de foyers équipés d'un téléviseur en 1968. Même question pour 1989.

Dans cette question, les valeurs approchées de $f(t)$ sont à arrondir à
$10^{-3}$.
\item  Déduire de la partie A. l'année à partir de laquelle 80\,\% des foyers ont été équipés d'un téléviseur.
\item  À l'aide d'une phrase, interpréter le résultat obtenu au 4. de la partie B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}
 Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
\end{center}

Une entreprise fabrique un certain type d'article électroménager.

On admet que chaque article de ce type peut présenter deux types de défauts :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item un défaut de soudure, noté défaut $a$,
\item  un défaut sur un composant électronique, noté défaut $b$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
   
\emph{A. Évènements indépendants}

On prélève un article au hasard dans la production d'une journée.

On note $A$ l'évènement : \og l'article présente le défaut $a$ \fg.

On note $B$ l'évènement :  \og l'article présente le défaut $b$ \fg.

On admet que les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont $P(A) = 0,03$ et $P(B) = 0,02$ et on suppose que ces deux évènements sont indépendants. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$ : \og l'article présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg.

\item  Calculer la probabilité de l'évènement $E_{2}$ \og l'article présente au moins un des deux défauts \fg.

\item  Calculer la probabilité de l'évènement $E_{3}$ \og l'article ne présente aucun défaut \fg.

\item  Calculer la probabilité de l'évènement $E_{4}$ : \og l'article présente un seul des deux défauts \fg.

On admet que, si les évènements $A$ et $B$ sont indépendants, alors les évènements $\overline{A}$ et B sont indépendants et les évènements A et $\overline{B}$ sont indépendants.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Loi binomiale}

\begin{center}
Dans cette partie, tous les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-3}$.
\end{center}

Les articles sont mis en place dans des petites surfaces de distribution par lot de 25.

On prélève au hasard un lot de 25~ articles dans la production d'une journée.

On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 25~articles.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 25~articles, associe le nombre d'articles défectueux parmi ces 25~articles. 

On suppose que la probabilité de l'évènement $D$ : \og l'article est défectueux \fg est $P(D) = 0,05$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item  Calculer $P(X = 0)$. 
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement deux articles défectueux. 
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au plus deux articles défectueux.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}

\medskip

Les articles sont mis en place dans les hypermarchés par lots de 800.

On prélève au hasard un lot de 800~articles dans un stock important. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 800 articles.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 800~articles, associe le nombre d'articles défectueux parmi ces 800~ articles. On admet que $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(800 ~;~ 0,05)$.

On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de paramètres : $m = 40$ et $\sigma = 6$.

On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}(40~;~ 6)$.

\medskip
    
\begin{enumerate}
\item  Justifier les valeurs de $m$ et de $\sigma$. 
\item  Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 41 articles défectueux dans le lot, c'est à dire calculer : $P(Z \leqslant 41,5)$. Arrondir à $10^{-2}$
\end{enumerate}
\end{document}