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%Tapuscrit : J. C. Lazure
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Chimiste}
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\rfoot{\small{mai 2015}}
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\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Chimiste
session 2015}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{En chimie, les lois cinétiques conduisent à des équations différentielles dont la résolution permet de prévoir, à chaque instant, les concentrations des produits en présence. L'exercice décrit une situation en distinguant l'étude mathématique de l'interprétation des résultats.}

\medskip

\textbf{Partie I  : Équations différentielles}

\medskip

\emph{Un formulaire concernant les équations différentielles est donné en annexe 2.}

\medskip

Soit le système (S) $\left\lbrace \begin{array}{rclllr} x'&=&-3x&&&~~(1)\\ y'&=&3x&-y&+z&~~(2) \\ z'&=&&y&-z&~~(3)\end{array} \right.$

avec les conditions initiales $x(0)=1$, $y(0)=0$ et $z(0)=0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation (1).
		\item En déduire $x(t)$ en tenant compte de la condition initiale $x(0)=1$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'équation (3), exprimer $y$ en fonction de $z$ et $z'$ puis en déduire l'expression de $y'$ en fonction de $z''$ et $z'$.
		\item En reportant dans l'équation (2) les résultats obtenus dans les questions \textbf{1.} et \textbf{2. a.}, en déduire que $z$ est solution de l'équation différentielle 
		
\mbox{(E) : $z''+2z'=3\text{e}^{-3t}$.}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $z''+2z'=0$.
		\item Déterminer le réel $\alpha$ tel que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0 ; $+\infty$[ par $g(t)=\alpha \text{e}^{-3t}$ soit une solution de l'équation (E).
		\item En déduire que les solutions de (E) sont les fonctions $z$ définies par $z(t)=\lambda + \mu \text{e}^{-2t}+\text{e}^{-3t}$ où $\lambda$ et $\mu$ sont des constantes réelles.
	\end{enumerate}
\item En utilisant l'équation (3), en déduire l'expression de $y(t)$ en fonction de $\lambda$ et $\mu$.
\item En sachant que $y(0)=0$ et $z(0)=0$, déterminer les constantes $\lambda$ et $\mu$.

En déduire $z(t)$ et $y(t)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On considère le schéma réactionnel : A $\rightarrow$ B $\leftrightarrows$ C impliquant les produits A, B et C.

On suppose que les fonctions $f$, $g$ et $h$ qui à l'instant $t\geqslant 0$, exprimé en minute, associent les concentrations [A] de A, [B] de B et [C] de C, exprimées en mole par litre, sont respectivement les fonctions définies par :

\[ f(t)=\text{e}^{-3t} ~~,~~ g(t)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\text{e}^{-2t}-2\text{e}^{-3t} ~~,~~ h(t)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\text{e}^{-2t}+\text{e}^{-3t}\]

Les trois courbes $C_1$, $C_2$, $C_3$ tracées ci-dessous sont les représentations graphiques des fonctions $f$, $g$ et $h$.
\begin{center}
\psset{xunit=3.5cm,yunit=7cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(3.1,1.2)
\multido{\n=0.2+0.2}{15}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,1.05)}
\multido{\n=0.1+0.1}{10}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0,\n)(3.1,\n)}
\psplot[algebraic=true,linewidth=1pt]{0}{3.1}{2.771828^(-3*x)}
\psplot[algebraic=true,linewidth=1pt]{0}{3.1}{0.5+1.5*2.771828^(-2*x)-2*2.771828^(-3*x)}
\psplot[algebraic=true,linewidth=1pt]{0}{3.1}{0.5-1.5*2.771828^(-2*x)+2.771828^(-3*x)}
\psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=0.2,Dy=0.1](0,0)(-0.1,-0.09)(3.1,1.05)
\uput[d](2.8,-0.08){$t$ en minute}
\uput[r](0,1.1){Concentration en mol.L$^{-1}$}
\rput(0.15,0.85){\large{$C_1$}}
\rput(1.1,0.65){\large{$C_2$}}
\rput(1.3,0.35){\large{$C_3$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(t)$.
	\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$. En déduire laquelle des trois courbes représente la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Calculer l'instant $t$ pour lequel les concentrations des produits A et C sont égales. On donnera une valeur exacte et une valeur de $t$ arrondie à 0,01.
	\item En déduire la courbe qui est la représentation graphique de la fonction $h$.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Graphiquement, conjecturer la concentration finale du produit C.
	\item Retrouver le résultat par un calcul de limite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Soit $X$ la variable aléatoire mesurant la durée de vie, en jours, d'un atome radioactif d'iode 131 avant sa désintégration.

$X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,087$ (exprimé en jour$^{-1}$).

\medskip

\emph{Rappel : Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, la probabilité $P(X\leqslant t)$ est égale à $\displaystyle \int_0^t \lambda \text{e}^{-\lambda x} \,\text{d}x$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $P(X\leqslant 6)=1-\text{e}^{-0,522}$ et en donner une valeur approchée arrondie à 0,01.
		\item Donner de même une valeur arrondie à 0,01 de $P(X\leqslant 4)$.
	\end{enumerate}
\item Soient les évènements suivants concernant un atome d'iode 131 :

E : \og sa durée de vie est d'au moins 6 jours \fg{}.

F : \og sa durée de vie est d'au moins 4 jours \fg{}.

	\begin{enumerate}
		\item Que représente l'évènement E$\cap$F ? Déterminer sa probabilité.
		\item Calculer la probabilité qu'un atome d'iode 131 ait une durée de vie d'au moins 6 jours, sachant qu'il n'a pas été désintégré au bout de 4 jours.
	\end{enumerate}
\item Déterminer le réel $t$ tel que $P(X\leqslant t)=0,5$, on donnera la valeur exacte de $t$ puis une valeur approchée arrondie à l'unité.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique commercialise des ampoules contenant de l'iode 131.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ampoule, associe la masse d'iode 131, en mg, contenue dans un millilitre de solution.

On considère que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

\medskip

\textbf{A : Probabilités}

\medskip

\emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

Pour les deux premières questions, on pose $\mu = 370$ et $\sigma = 1,2$.

\begin{enumerate}
\item Une ampoule est commercialisable si la masse d'iode par mL est comprise entre 368 et 372.

La probabilité arrondie à 0,001, qu'une ampoule soit \textbf{non commercialisable} est égale à :

\medskip
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
Réponse a & Réponse b & Réponse c \\\hline
0,201 & 0,096 & 0,052\\\hline
\end{tabular}
\medskip

\item Soit $\alpha$ le réel tel que $P(370-\alpha \leqslant X \leqslant 370+\alpha)=0,95$.

Une valeur arrondie à 0,01 de $\alpha$ est égale à :

\medskip
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
Réponse a & Réponse b & Réponse c \\\hline
2,35 & 2 & 3,53 \\\hline
\end{tabular}
\medskip

Pour les questions suivantes, on arrondit la probabilité $p$ qu'une ampoule soit non commercialisable àla valeur $p=0,1$.

On prélève au hasard un échantillon de 100 ampoules. La production est assez importante pour que l'on assimile le prélèvement à un tirage avec remise.

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de 100 ampoules, associe le nombre d'ampoules non commercialisables.

$Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,1$.

\item Soit $P_1$ la probabilité qu'il y ait exactement une ampoule non commercialisable dans l'échantillon.

Une valeur arrondie à $10^{-6}$ de $P_1$ est égale à :

\medskip
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
Réponse a 				& Réponse b & Réponse c \\\hline
$2,95\times 10^{-4}$ 	& $0,1$ 	& $0,09$ \\\hline
\end{tabular}
\medskip

\item Soit $P_2$ la probabilité qu'il y ait au moins deux ampoules non commercialisables dans l'échantillon. 

Une valeur de $P_2$ arrondie à $10^{-4}$ est égale à :

\medskip
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
Réponse a 	& Réponse b & Réponse c \\\hline
0,01 		& \np{0,9997} 	& \np{0,9984} \\\hline
\end{tabular}
\medskip

\item On considère que la loi $Y$ est approchée par une loi de Poisson de \mbox{paramètre $\lambda$.}

Quelle valeur de $\lambda$ semble être la plus appropriée ?

\medskip
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
Réponse a & Réponse b & Réponse c \\\hline
0,1 & 10 & 3,16 \\\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B : Test d'hypothèse}

\medskip

Dans cette question, on suppose que $\sigma = 1,2$.

Le laboratoire indique que chaque ampoule contient 370 mg d'iode 131 par mL.

On se propose de construire un test bilatéral permettant d'accepter ou de refuser cette affirmation, au risque 5\%.

On désigne par $\mu$ la moyenne en mg de la masse d'iode 131 contenue dans une ampoule.

On prélève au hasard un échantillon de $n$ ampoules, la production étant assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On prendra pour hypothèse nulle H$_0$ : $\mu = 370$ et pour hypothèse alternative H$_1$ : $\mu \neq 370$.

Soit $\overline{X_n}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $n$ ampoules prélevées au hasard, associe la masse moyenne d'iode 131 par mL contenue dans ces $n$ ampoules.

On admet que $\overline{X_n}$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma'=\dfrac{1,2}{\sqrt{n}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $n=100$.

$\overline{X_{100}}$ suit donc la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma'=0,12$.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer le réel $h$ tel que, sous l'hypothèse H$_0$,
	
	$P(370-h\leqslant \overline{X_{100}} \leqslant 370 + h) = 0,95$. On donnera une valeur approchée de $h$ arrondie à $10^{-3}$.
	\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
	\item Pour un échantillon de 100 ampoules prélevées au hasard, la masse moyenne d'iode 131 par mL est $\overline{x} = 370,4$.
	
	Peut-on considérer, au risque 5\%, que $\mu=370$ ?
	\end{enumerate}
\item Le but de cette question est de trouver à partir de quelle valeur de l'effectif $n$, on a $P\left( 370-0,2\leqslant \overline{X_n} \leqslant 370+0,2 \right)\geqslant 0,95$ où $\overline{X_n}$ suit la loi normale de moyenne 370 et d'écart-type $\sigma'=\dfrac{1,2}{\sqrt{n}}$.
	\begin{enumerate}
	\item Compléter, à l'aide de la calculatrice, le tableau donné en \textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie}.
	\item En déduire la valeur $n$ cherchée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{large}
\begin{center}
\textbf{Annexe 1}

\textbf{à rendre avec la copie}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2, Partie II}

\textbf{B 2. a.}

\end{large}

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
\rule[-10pt]{0pt}{25pt} Effectif $n$ & $\sigma'=\dfrac{1,2}{\sqrt{n}}$ & $P\left( 370-0,2\leqslant \overline{X_n} \leqslant 370+0,2 \right)$ \\
 & (arrondi à $10^{-4}$) &  (arrondi à $10^{-4}$)\\\hline
\rule[-10pt]{0pt}{25pt} 120 & \np{0,1095} & \np{0,9321} \\\hline
\rule[-10pt]{0pt}{25pt} 138 & & \\\hline
\rule[-10pt]{0pt}{25pt} 139 & & \\\hline
\rule[-10pt]{0pt}{25pt} 140 & & \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\newpage

\begin{large}
\begin{center}
\textbf{Annexe 2}

\textbf{Formulaire : équations différentielles}
\end{center}
\end{large}

\bigskip

\begin{tabular}{|p{0.32\textwidth}|p{0.68\textwidth}|}\hline
Équation & Solutions \\\hline
\rule[-10pt]{0pt}{25pt} $ay'+by=0$, $a\neq 0$ & $f(t)=k\text{e}^{-\frac{b}{a}t}$ \\\hline
\rule[-10pt]{0pt}{25pt} $ay''+by'+cy=0$, $a\neq 0$ 

équation caractéristique :

$ar^2+br+c=0$

de discriminant $\Delta$ & 
Si $\Delta>0$, $f(t)=\lambda \text{e}^{r_1t}+\mu \text{e}^{r_2t}$

où $r_1$ et $r_2$ sont les racines de l'équation caractéristique.

Si $\Delta=0$, $f(t)=(\lambda t+\mu) \text{e}^{rt}$

où $r$ est la racine double de l'équation caractéristique.

Si $\Delta<0$, $f(t)=\left[\lambda \cos(\beta t) + \mu \sin(\beta t) \right]\text{e}^{\alpha t}$

où $r_1=\alpha+\text{i}\beta$ et $r_2=\alpha -\text{i}\beta$ sont les racines complexes de l'équation caractéristique.
\\\hline
\end{tabular}
\end{document}