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%Tapuscrit : J. C. Lazure
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Chimiste}
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\begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Chimiste
session 2014}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

Soit la réaction chimique successive : A $\longrightarrow$ B $\longrightarrow$ C

On note $x(t)$, $y(t)$ et $z(t)$ les concentrations en mole par litre des produits A, B et C à l'instant $t$ exprimé en minute.

À l'instant $t=0$, on a les concentrations initiales : $x(0)=a$, $y(0)=0$ et $z(0)=0$ où $a$ est un réel positif.

Les lois de la cinétique chimique montrent que $x$, $y$ et $z$ sont solutions du système :

\[\left\lbrace \begin{array}{rcl} 
\dt{x} &=& -kx \\ \dt{y} &=& kx-y \\ \dt{z} &=& y \end{array} \right.\]

où $k$ désigne une constante réelle strictement positive et différente de 1.

\medskip

\textbf{Partie I : Résolution d'un système}

\medskip

L'étude conduit au système suivant : $\left\lbrace \begin{array}{rclc} 
x' &=& -kx & (1) \\ y' &=& \phantom{-} kx-y & (2)\\ z' &=&\phantom{kx -} y & (3) \end{array} \right.$
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(1)$.

En déduire $x(t)$ en tenant compte de la condition initiale $x(0)=a$.
\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que l'équation $(2)$ peut s'écrire sous la forme : \mbox{$y'+ y = ka \e^{-kt} $ (4).}
	\item Résoudre l'équation différentielle $y'+ y = 0$.
	\item Déterminer le réel $\alpha$ tel que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0 ; $+\infty$[ par $g(t)=\alpha \e^{-kt}$ soit une solution particulière de l'équation (4).
	\item Sachant que $y(0)=0$, montrer que $y(t)=\dfrac{ka}{1-k}\left(\e^{-kt}-\e^{-t}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation (3).

En déduire $z(t)$ en tenant compte de la condition initiale $z(0)=0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II : détermination expérimentale de la constante k}

\medskip

On a réalisé une expérience du type : A $\longrightarrow$ B $\longrightarrow$ C et on a obtenu les résultats suivants sur les concentrations du produit A :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\textwidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ (en min) 							&0 &1 &2 &3 &4 &5 \\\hline
$x_i \left(\text{en mol.L}^{-1}\right)$ 	&3 &0,67 &0,15 &0,033 &\np{0,0073} &\np{0,0015} \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

On pose $X = \ln x$.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à $10^{-3}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\textwidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ 			&0 &1 &2 &3 &4 &5 \\ \hline
$X = \ln x_i$ 	&  &  &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la droite de régression de $X$ en $t$, obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme $X=mt+p$. 
	
	On donnera les valeurs de $m$ et $p$ arrondies à $10^{-2}$.
		\item En déduire une approximation de l'expression $x(t)$ sous la forme $\lambda \text{e}^{\mu t}$ où $\lambda$ et $\mu$ sont des constantes.
		\item Déduire du résultat de la modélisation obtenue à la question I.1) une valeur approchée de la constante $k$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III}

\medskip

Dans cette partie, on admet que $a=3$ et $k=1,5$.

On considère les fonctions $x$ et $y$ définies sur [0 ; $+\infty$[ par : \[x(t)=3\text{e}^{-1,5t} ~~ \text{et} ~~ y(t)=9\left(\text{e}^{-t} - \text{e}^{-1,5t} \right)\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $y'(t)$ et vérifier que $y'(t)$ peut s'écrire sous la forme \[y'(t)=9\text{e}^{-1,5t}\left( 1,5-\text{e}^{0,5t}\right)\]
\item Établir que sur [0 ; $+\infty$[, la fonction $y$ admet un maximum $M$ que l'on déterminera à $10^{-2}$ près, ainsi que la valeur exacte de l'instant $t_m$ tel que $y(t_m)=M$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}
\medskip

Les parties I et II sont indépendantes.

La feuille donnée en annexe sera rendue avec la copie.

\medskip

\textbf{Partie l : Plan d'expérience}
\medskip

En vue d'obtenir un rendement optimal en polyolester, on réalise un plan d'expériences portant sur trois facteurs : la température, la pression et le pourcentage massique de catalyseur utilisé.

Le rendement $Y$ est modélisé par une expression de la forme :
\[ Y =a_0+a_l X_1+a_2X_2+a_3X_3+\epsilon\]

On désigne par $X_1$ , $X_2$ et $X_3$ les niveaux respectifs de la température, de la pression et du pourcentage massique du catalyseur, avec $-1$ pour le niveau bas et $+1$ pour le niveau haut.

Les facteurs varient de la fa\c{c}on suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\textwidth}{|l|X|X|}
\hline
 & niveau bas : $-1$ & niveau haut : $+1$ \\\hline
 Température en Kelvin (K) & 423 & 483 \\\hline
 Pression en bar & 0,1 & 0,5 \\\hline
 \% massique de catalyseur & 0,5 & 1,5 \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Les 8 expériences réalisées ont donné les résultats suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\textwidth}{|l|X|X|X|X|X|X|X|X|}
\hline
Expérience & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 \\\hline
Température & 423 & 483 & 423 & 483 & 423 & 483 & 423 & 483 \\\hline
Pression  & 0,1 & 0,1 & 0,5 & 0,5 & 0,1 & 0,1 & 0,5 & 0,5 \\\hline
Masse de catalyseur & 0,5 & 0,5 & 0,5 & 0,5 & 1,5 & 1,5 & 1,5 & 1,5 \\\hline
Rendement & 0,75 & 0,55 & 0,6 & 0,8 & 0,7 & 0,55 & 0,45 & 0,8 \\\hline
\end{tabularx}


\begin{enumerate}
\item Compléter le document donné en annexe en donnant les estimations ponctuelles des effets $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$ et l'expression du modèle $Y$.
\item En utilisant l'expression de $Y$, en déduire, pour chacun des facteurs, le niveau qui assure le meilleur rendement.
\item \`A l'aide de l'expression du modèle $Y$, justifier qu'avec une température de 453 K, une pression de 0,3 bar et un pourcentage massique de catalyseur de 1 \%, le rendement sera égal à 0,65.
\item Avec une pression de 0,1 bar ($X_2 =-1$) et 1 \% de catalyseur ($X_3=0$), quelle devrait-être la valeur de $X_1$ pour avoir un rendement de 0,65 ?

\`A quelle température en kelvin cela correspond-il ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

\smallskip

Le polyolester est conditionné dans des récipients. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à chaque récipient associe le volume de son contenu exprimé en cm$^3$.

On suppose que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question on prend $\mu = 500$, valeur annoncée par le fabricant.

Le récipient est conforme au cahier des charges si le volume de son contenu appartient à l'intervalle [495 ; 505].
	\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité qu'un récipient pris au hasard soit conforme quand $\sigma=4$.
	\item Quelle devrait être la valeur de l'écart-type $\sigma$ pour que la probabilité d'avoir un récipient conforme soit égale à $0,9$ ?
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $\sigma = 4$. Le fabricant affirme que $\mu = 500$.

On se propose de construire un test bilatéral permettant d'accepter ou de refuser cette hypothèse, avec un seuil de risque de 5\,\%.

On prend pour hypothèse nulle H$_0$ : $\mu=500$ et pour hypothèse alternative H$_1$ : $\mu \neq 500$.
	\begin{enumerate}
	\item Soit $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 récipients prélevés au hasard, associe le volume moyen de leur contenu.
	
Vérifier que $\overline{X}$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma'= 0,4$.
	\item Déterminer le réel $h$ tel que, sous l'ypothèse H$_0$ : \[P(500-h\leqslant \overline{X} \leqslant 500 + h) = 0,95.\]
	\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
	\item Pour un échantillon de 100 récipients prélevés au hasard, le volume moyen des contenus est $\overline{x} = 500,6$.
	
	Peut-on considérer, au risque 5\,\%, que $\mu=500$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}

\vfill

\textbf{Exercice 2 - Partie I}

\vfill

\begin{tabularx}{\textwidth}{|c|X|X|X|X|c|}
\hline
expérience & \multicolumn{1}{c|}{moyenne} & \multicolumn{1}{c|}{$X_1$} & \multicolumn{1}{c|}{$X_2$} & \multicolumn{1}{c|}{$X_3$} & $Y$ \\\hline
1 & & & & & 0,75 \\\hline
2 & & & & & 0,55 \\\hline
3 & & & & & 0,6 \\\hline
4 & & & & & 0,8 \\\hline
5 & & & & & 0,7 \\\hline
6 & & & & & 0,55 \\\hline
7 & & & & & 0,45 \\\hline
8 & & & & & 0,8 \\\hline
effets & \multicolumn{1}{c|}{$a_0$} & \multicolumn{1}{c|}{$a_1$} & \multicolumn{1}{c|}{$a_2$} & \multicolumn{1}{c|}{$a_3$} &  \\\hline
estimation & & & & & \\
des effets & &&&& \\\hline
\end{tabularx}

\vfill

Calcul des estimations des effets :

\vfill

$a_0 \simeq \dots$

\vfill

$a_1 \simeq \dots$

\vfill

$a_2 \simeq \dots$

\vfill

$a_3 \simeq \dots$

\vfill

Rendement $Y\simeq \dots$

\vfill

~~
\end{document}