\documentclass[10pt]{article} \usepackage{lscape} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : J. C. Lazure \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Chimiste}, pdftitle = {Métropole mai 2014}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\dt}[1]{\dfrac{\text{d}#1}{\text{d}t}} \newcommand{\e}{\text{e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Chimiste} \lfoot{\small{}} \rfoot{\small{mai 2014}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} \Large \textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Chimiste session 2014} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip Soit la réaction chimique successive : A $\longrightarrow$ B $\longrightarrow$ C On note $x(t)$, $y(t)$ et $z(t)$ les concentrations en mole par litre des produits A, B et C à l'instant $t$ exprimé en minute. À l'instant $t=0$, on a les concentrations initiales : $x(0)=a$, $y(0)=0$ et $z(0)=0$ où $a$ est un réel positif. Les lois de la cinétique chimique montrent que $x$, $y$ et $z$ sont solutions du système : \[\left\lbrace \begin{array}{rcl} \dt{x} &=& -kx \\ \dt{y} &=& kx-y \\ \dt{z} &=& y \end{array} \right.\] où $k$ désigne une constante réelle strictement positive et différente de 1. \medskip \textbf{Partie I : Résolution d'un système} \medskip L'étude conduit au système suivant : $\left\lbrace \begin{array}{rclc} x' &=& -kx & (1) \\ y' &=& \phantom{-} kx-y & (2)\\ z' &=&\phantom{kx -} y & (3) \end{array} \right.$ \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $(1)$. En déduire $x(t)$ en tenant compte de la condition initiale $x(0)=a$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $(2)$ peut s'écrire sous la forme : \mbox{$y'+ y = ka \e^{-kt} $ (4).} \item Résoudre l'équation différentielle $y'+ y = 0$. \item Déterminer le réel $\alpha$ tel que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0 ; $+\infty$[ par $g(t)=\alpha \e^{-kt}$ soit une solution particulière de l'équation (4). \item Sachant que $y(0)=0$, montrer que $y(t)=\dfrac{ka}{1-k}\left(\e^{-kt}-\e^{-t}\right)$. \end{enumerate} \item Résoudre l'équation (3). En déduire $z(t)$ en tenant compte de la condition initiale $z(0)=0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II : détermination expérimentale de la constante k} \medskip On a réalisé une expérience du type : A $\longrightarrow$ B $\longrightarrow$ C et on a obtenu les résultats suivants sur les concentrations du produit A : \begin{center} \begin{tabularx}{\textwidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_i$ (en min) &0 &1 &2 &3 &4 &5 \\\hline $x_i \left(\text{en mol.L}^{-1}\right)$ &3 &0,67 &0,15 &0,033 &\np{0,0073} &\np{0,0015} \\\hline \end{tabularx} \end{center} On pose $X = \ln x$. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à $10^{-3}$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\textwidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 \\ \hline $X = \ln x_i$ & & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item \begin{enumerate} \item Donner l'équation de la droite de régression de $X$ en $t$, obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme $X=mt+p$. On donnera les valeurs de $m$ et $p$ arrondies à $10^{-2}$. \item En déduire une approximation de l'expression $x(t)$ sous la forme $\lambda \text{e}^{\mu t}$ où $\lambda$ et $\mu$ sont des constantes. \item Déduire du résultat de la modélisation obtenue à la question I.1) une valeur approchée de la constante $k$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie III} \medskip Dans cette partie, on admet que $a=3$ et $k=1,5$. On considère les fonctions $x$ et $y$ définies sur [0 ; $+\infty$[ par : \[x(t)=3\text{e}^{-1,5t} ~~ \text{et} ~~ y(t)=9\left(\text{e}^{-t} - \text{e}^{-1,5t} \right)\] \begin{enumerate} \item Calculer $y'(t)$ et vérifier que $y'(t)$ peut s'écrire sous la forme \[y'(t)=9\text{e}^{-1,5t}\left( 1,5-\text{e}^{0,5t}\right)\] \item Établir que sur [0 ; $+\infty$[, la fonction $y$ admet un maximum $M$ que l'on déterminera à $10^{-2}$ près, ainsi que la valeur exacte de l'instant $t_m$ tel que $y(t_m)=M$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip Les parties I et II sont indépendantes. La feuille donnée en annexe sera rendue avec la copie. \medskip \textbf{Partie l : Plan d'expérience} \medskip En vue d'obtenir un rendement optimal en polyolester, on réalise un plan d'expériences portant sur trois facteurs : la température, la pression et le pourcentage massique de catalyseur utilisé. Le rendement $Y$ est modélisé par une expression de la forme : \[ Y =a_0+a_l X_1+a_2X_2+a_3X_3+\epsilon\] On désigne par $X_1$ , $X_2$ et $X_3$ les niveaux respectifs de la température, de la pression et du pourcentage massique du catalyseur, avec $-1$ pour le niveau bas et $+1$ pour le niveau haut. Les facteurs varient de la fa\c{c}on suivante : \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\textwidth}{|l|X|X|} \hline & niveau bas : $-1$ & niveau haut : $+1$ \\\hline Température en Kelvin (K) & 423 & 483 \\\hline Pression en bar & 0,1 & 0,5 \\\hline \% massique de catalyseur & 0,5 & 1,5 \\\hline \end{tabularx} \end{center} Les 8 expériences réalisées ont donné les résultats suivants : \medskip \begin{tabularx}{\textwidth}{|l|X|X|X|X|X|X|X|X|} \hline Expérience & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 \\\hline Température & 423 & 483 & 423 & 483 & 423 & 483 & 423 & 483 \\\hline Pression & 0,1 & 0,1 & 0,5 & 0,5 & 0,1 & 0,1 & 0,5 & 0,5 \\\hline Masse de catalyseur & 0,5 & 0,5 & 0,5 & 0,5 & 1,5 & 1,5 & 1,5 & 1,5 \\\hline Rendement & 0,75 & 0,55 & 0,6 & 0,8 & 0,7 & 0,55 & 0,45 & 0,8 \\\hline \end{tabularx} \begin{enumerate} \item Compléter le document donné en annexe en donnant les estimations ponctuelles des effets $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$ et l'expression du modèle $Y$. \item En utilisant l'expression de $Y$, en déduire, pour chacun des facteurs, le niveau qui assure le meilleur rendement. \item \`A l'aide de l'expression du modèle $Y$, justifier qu'avec une température de 453 K, une pression de 0,3 bar et un pourcentage massique de catalyseur de 1 \%, le rendement sera égal à 0,65. \item Avec une pression de 0,1 bar ($X_2 =-1$) et 1 \% de catalyseur ($X_3=0$), quelle devrait-être la valeur de $X_1$ pour avoir un rendement de 0,65 ? \`A quelle température en kelvin cela correspond-il ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} \medskip Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$. \smallskip Le polyolester est conditionné dans des récipients. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à chaque récipient associe le volume de son contenu exprimé en cm$^3$. On suppose que $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question on prend $\mu = 500$, valeur annoncée par le fabricant. Le récipient est conforme au cahier des charges si le volume de son contenu appartient à l'intervalle [495 ; 505]. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un récipient pris au hasard soit conforme quand $\sigma=4$. \item Quelle devrait être la valeur de l'écart-type $\sigma$ pour que la probabilité d'avoir un récipient conforme soit égale à $0,9$ ? \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $\sigma = 4$. Le fabricant affirme que $\mu = 500$. On se propose de construire un test bilatéral permettant d'accepter ou de refuser cette hypothèse, avec un seuil de risque de 5\,\%. On prend pour hypothèse nulle H$_0$ : $\mu=500$ et pour hypothèse alternative H$_1$ : $\mu \neq 500$. \begin{enumerate} \item Soit $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 récipients prélevés au hasard, associe le volume moyen de leur contenu. Vérifier que $\overline{X}$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma'= 0,4$. \item Déterminer le réel $h$ tel que, sous l'ypothèse H$_0$ : \[P(500-h\leqslant \overline{X} \leqslant 500 + h) = 0,95.\] \item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \item Pour un échantillon de 100 récipients prélevés au hasard, le volume moyen des contenus est $\overline{x} = 500,6$. Peut-on considérer, au risque 5\,\%, que $\mu=500$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie} \end{center} \vfill \textbf{Exercice 2 - Partie I} \vfill \begin{tabularx}{\textwidth}{|c|X|X|X|X|c|} \hline expérience & \multicolumn{1}{c|}{moyenne} & \multicolumn{1}{c|}{$X_1$} & \multicolumn{1}{c|}{$X_2$} & \multicolumn{1}{c|}{$X_3$} & $Y$ \\\hline 1 & & & & & 0,75 \\\hline 2 & & & & & 0,55 \\\hline 3 & & & & & 0,6 \\\hline 4 & & & & & 0,8 \\\hline 5 & & & & & 0,7 \\\hline 6 & & & & & 0,55 \\\hline 7 & & & & & 0,45 \\\hline 8 & & & & & 0,8 \\\hline effets & \multicolumn{1}{c|}{$a_0$} & \multicolumn{1}{c|}{$a_1$} & \multicolumn{1}{c|}{$a_2$} & \multicolumn{1}{c|}{$a_3$} & \\\hline estimation & & & & & \\ des effets & &&&& \\\hline \end{tabularx} \vfill Calcul des estimations des effets : \vfill $a_0 \simeq \dots$ \vfill $a_1 \simeq \dots$ \vfill $a_2 \simeq \dots$ \vfill $a_3 \simeq \dots$ \vfill Rendement $Y\simeq \dots$ \vfill ~~ \end{document}