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%Tapuscrit : J. C. Lazure
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Chimiste}
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\rfoot{\small{mai 2013}}
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\begin{center}\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur \\ Chimiste
session 2013}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

On considère deux réactions successives : A $\overset{k_1}{\longrightarrow}$ B $\overset{k_2}{\longrightarrow}$ C

$k_1$ et $k_2$ désignent des constantes de vitesse réelles distinctes, strictement positives et vérifient $k_1 < k_2$.

\medskip

à l'instant $t$ (exprimé en minutes), on désigne par $x(t)$ et $y(t)$ les concentrations exprimées en mol.L$^{-1}$ respectivement des produits A et B. On admettra que $x$ et $y$ sont des fonctions de variable $t$ définies et dérivables sur l'intervalle $[0~;~+\infty$[.

\medskip

Les lois cinétiques donnent les équations suivantes :

\[\left\lbrace \begin{array}{rclr} 
x' & = & -k_1x & (1) \\ y' &=&-k_2y+k_1x & (2)\end{array} \right.\]

avec les conditions initiales : $x(0) = a$, $y(0) = 0$ où $a$ est une constante strictement positive.

\medskip

\textbf{Partie I : Résolution du système}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (1). En tenant compte de la condition initiale, en déduire l'expression
$x(t)$.
\item Montrer que l'équation (2) peut s'écrire sous la forme :

\[(E)~~:~~ y'+ k_2 y = k_1 a \text{e}^{-k_1t} \]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le réel $\alpha$ tel que la fonction $g$ définie sur [0 ; $+\infty$[ par $g(t)=\alpha \text{e}^{-k_1t}$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
		\item Donner la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales est la fonction $y$ définie, pour $t \geqslant 0$, par :

\[ y(t)= \dfrac{k_1}{k_2-k_1} a \left( \text{e}^{-k_1t} - \text{e}^{-k_2t} \right)\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II : étude de fonction}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; $+\infty$[ par :  $f(t) = a \left( \text{e}^{-0,5t} - \text{e}^{-t} \right)$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en justifiant, la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
\item \begin{enumerate}
	\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
	\item En déduire que la fonction $f$ admet un maximum en $t_0 = 2 \ln 2$.
	\item Montrer que l'expression exacte du maximum de $f$ est $\frac{a}{4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III : Détermination des différentes concentrations}

\medskip

Dans cette partie, les constantes de vitesse $k_1$ et $k_2$ ont été choisies de telles sortes que la concentration du produit B soit représentée par la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie II} et la concentration du produit A, par une fonction $h$. Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$  données en annexe dans un repère orthogonal sont les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $h$. (unités graphiques : 2~cm pour 1~minute sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 0,01~mol.L$^{-1}$ sur l'axe des ordonnées.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la courbe $\mathcal{C}_1$, déterminer la valeur de la concentration initiale du produit A notée $a$ et
exprimée en mol.L$^{-1}$. On laissera apparent les traits de construction.
\item On désigne par $z(t)$ la concentration en mol.L$^{-1}$ à  l'instant $t$ du produit C ($t$ exprimé en minutes).

En utilisant le tracé de $\mathcal{C}_1$ et de $\mathcal{C}_2$ et sachant qu'à tout instant on a $f(t)+h(t)+ z(t) = O,2$, \textbf{tracer sur l'annexe (à rendre avec la copie)} les points de coordonnées ($t$,$z(t)$) pour $t = 0$, $t = 2\ln 2$ et $t=3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Une usine fabrique, en grande quantité, des plaques de mousse en polyuréthane utilisées pour le garnissage automobile. On étudie leur densité exprimée en kilogramme par mètre cube (kg.m$^{-3}$).

Dans cet exercice, sauf indication contraire, \textbf{les résultats seront donnés à \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath près}.

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Une plaque de mousse est conforme, pour la densité, lorsque celle-ci appartient à l'intervalle [41,6~;~42,4].

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $X_1$ la variable aléatoire qui, à chaque plaque de mousse prélevée au hasard dans la production, associe sa densité. On suppose que $X_1$ suit la loi normale de moyenne 42 et d'écart type $\sigma_1 = 0,17$.

Calculer la probabilité qu'une plaque de mousse prélevée au hasard dans la production soit conforme.

\emph{Remarque} : \emph{On n'effectuera pas d'interpolation linéaire lors de l'utilisation de la loi normale centrée réduite.}

\item L'entreprise désire améliorer la qualité de la production de ses mousses : elle envisage de modifier le réglage des injecteurs de mousse.

On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque plaque de mousse prélevée dans la production future, associera sa densité.

On suppose que la variable aléatoire $D$ suit une loi normale de moyenne 42 et d'écart type $\sigma_2$.

Déterminer $\sigma_2$ pour que la probabilité qu'une plaque de mousse prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour la densité, soit égale à 0,95.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

On note $E$ l'évènement : \og une plaque de mousse prélevée au hasard dans un stock important a une densité non conforme \fg. On suppose que $P(E) = 0,03$ où $P(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$.

\medskip

On prélève au hasard cinq plaques de mousse dans le stock pour vérification de leur densité. Le stock de plaques de mousse est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On considère la variable aléatoire $Y_1$ qui à tout prélèvement de cinq plaques de mousse associe le nombre de plaques de mousse de ce prélèvement ayant une densité non conforme.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $Y_1$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus une plaque de mousse ait une densité non conforme. On donnera les résultats à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III}

\medskip

Les plaques de mousse sont commercialisées par lots de \np{1000}.

On prélève au hasard un lot de 1000 plaques de mousse dans un dépôt de l'usine. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de \np{1000} plaques.

On considère la variable aléatoire $Y_2$ qui, à tout prélèvement de \np{1000} plaques, associe le nombre de plaques de mousse ayant une densité non conforme.

On admet que la variable aléatoire $Y_2$ suit la loi binomiale de paramètres $n = \np{1000}$ et $p = 0,03$.

On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y_2$ par une loi normale.

\begin{enumerate}
\item On note $Z$ la variable aléatoire suivant cette loi normale.

Justifier que les paramètres de cette loi normale sont 30 et 5,39.

\item Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 25 plaques non conformes dans le lot de 1000 plaques, c'est-a-dire calculer $P(Z < 25,5)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie IV}

\medskip

On se propose de construire un test d'hypothèse unilatéral pour contrôler la densité, exprimée en kilogramme par mètre cube (kg.m$^{-3}$), des plaques de mousse constituant la commande d'un client.

Le client doit pouvoir refuser une commande si la densité des plaques de mousse est trop faible.

\medskip

Le fournisseur affirme que la densité $d$ des plaques de mousse commercialisées est supérieure ou égale a 42 kg.m$^{-3}$.

\medskip

Le seuil de risque $\alpha$ du test est fixé à $\alpha  = 0,05$.

L'hypothèse nulle est $H_0$ : $d = 42$.

Un échantillon de $n = 100$ plaques est prélevé.

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque plaque de mousse prélevée au hasard dans la livraison, associe sa densité.

La variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne inconnue $d$ et d'écart type $\sigma=0,17$.

On désigne par $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 plaques de mousse prélevée dans la livraison, associe la moyenne des densités de ces plaques (la livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).

\begin{enumerate}
\item Souhaitant contrôler sa livraison, un client prélève un échantillon de 100 plaques et mesure la densité de chaque plaque. Les résultats obtenus sont placés dans le tableau suivant :

\medskip

\hspace{-2cm}
\begin{footnotesize}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
Classes & [41,60 ; 41,70[ & [41,70 ; 41,80[ & [41,80 ; 41,90[ & [41,90 ; 42,00[ & [42,00 ; 42,10[ & [42,10 ; 42,20[ & [42,20 ; 42,30[ \\ 
\hline 
Effectifs & 8 & 5 & 23 & 30 & 12 & 16 & 6 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{footnotesize}

\medskip

En supposant que dans chaque classe tous les éléments sont situés au centre, calculer la moyenne des mesures de cet échantillon. On donnera le résultat à 10$^{-2}$ près.
\item Préciser l'hypothèse alternative notée $H_1$.
\item Justifiez que, sous l'hypothèse $H_0$, la loi suivie par la variable aléatoire $\overline{X}$ est la loi normale de moyenne 42 et d'écart-type $0,017$.
\item Déterminer, à 10$^{-3}$ près, sous l'hypothèse $H_0$, le nombre réel positif $h$ tel que : $P\left(42-h<\overline{X}\right) = 0,95$.
\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item Peut-on, en appliquant le test à l'échantillon de la question 1, au risque de 5\,\%, conclure que la livraison est conforme pour la densité ?
\end{enumerate}

\newpage

\psset{yunit=100cm,xunit=2cm}
\begin{pspicture}(1,0)(8.3,0.215)
\psaxes[Dx=0.5,Dy=0.01]{->}(0,0)(-0.5,-0.01)(8.3,0.205)
\multido{\n=0.5+0.5}{16}{\psline[linestyle=dashed](\n,-0.01)(\n,0.2)}
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\psplot[algebraic=true]{0}{8}{0.2*2.718^(-0.5*x)}
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\rput(0.7,0.047){$\mathcal{C}_1$}
\rput(0.7,0.165){$\mathcal{C}_2$}
\rput(7,-0.01){$t$ en min}
\rput(1,0.207){Concentration en mol.L$^{-1}$}
\rput(4,0.215){\textbf{Annexe à rendre avec la copie}}
\end{pspicture}
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