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%Tapuscrit : J. C. Lazure
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Chimie}
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\rfoot{\small{mai 2011}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright \\ Chimiste session 2012}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On étudie la dissolution d'un composé salin dans l'eau : à l'instant initial on introduit 300 grammes de ce composé dans un litre d'eau. Pour $t$ réel positif on note $f(t)$ la quantité
(exprimée en grammes) de composé non encore dissous à l'instant $t$ (exprimé en minutes) et l'on admettra que la fonction $f$ ainsi définie vérifie $f(t) > 0$, $f(0) = 300$ ainsi que l'équation différentielle :

\[f'(t)=kf(t) \times \left(f(t)- 50\right),~~k \text{ étant une constante réelle, ~~} k<0.\]


\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}

\begin{enumerate}
\item On définit la fonction $g$ sur [0 ; $+\infty$[ par $g(t) = \dfrac{1}{f(t)}$.
	\begin{enumerate}
	\item Exprimer $g'(t)$ en fonction de $f(t)$ et $f'(t)$.
	\item En déduire pour tout réel $t$ positif la relation : $g'(t) = 50k g(t) - k$.
	\end{enumerate}
\item On considère les deux équations différentielles :

(E) : $y'= 50ky - k$ et (E$_0$) : $y'= 50ky$ où $y$ désigne une fonction définie et dérivable sur [0 ; $+\infty$[.
	\begin{enumerate}
	\item Résoudre l'équation (E$_0$).
	\item Déterminer une fonction constante solution de l'équation (E) puis en déduire les solutions de l'équation (E).
	\item	A l'aide de la question précédente et de la condition initiale $f(0) = 300$, déterminer l'expression de $g(t)$ en fonction de $t$ et $k$.
	\item En déduire que l'expression de $f(t)$ est : $f(t) = \dfrac{300}{6-5\text{e}^{50kt}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : \'Etude d'une fonction}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de $f$.
\item Déterminer $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} f(t)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Applications}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'instant $t_1 = 10$ il reste 100 grammes de composé non dissous.

En déduire la valeur exacte de la constante $k$ puis en donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près.
\item On considère que la solution salée obtenue est saturée lorsque 240 grammes du composé ont été dissous.

Déterminer à 0,01 près l'instant $t_2$ auquel cette solution est saturée.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\textbf{Les deux parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La conductivité thermique d'un alliage est sensible aux teneurs (exprimées en pourcentages) en les métaux le constituant. On s'intéresse ici aux variations de cette conductivité selon les teneurs respectives en deux métaux particuliers parmi ceux constituant un alliage donné. Les facteurs intervenant sont les suivants :

$\mathbf{X_1}$ : facteur représentant la teneur en métal $M_1$, celle-ci pouvant varier dans l'intervalle [4 ; 4,8].

$\mathbf{X_2}$ : facteur représentant la teneur en métal $M_2$, celle-ci pouvant varier dans l'intervalle [0,7 ; 1,5].

Les niveaux attribués aux facteurs sont donnés par le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline 
Niveaux & $-1$ & 1 \\\hline 
Teneur en $M_1$ (\%) & 4 & 4,8 \\\hline 
Teneur en $M_2$ (\%) & 0,7 & 1,5 \\\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

On note $\mathbf{Y}$ la conductivité thermique de l'alliage (exprimée en $Wm^{-1}K^{-1}$).

On réalise un plan factoriel $2^2$ dont les quatre expériences donnent les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
Expérience & Teneur en $M_1$ & Teneur en $M_2$ & Réponse $\mathbf{Y}$  (conductivité) \\\hline 
1 & 4 & 0,7 & 134	\\\hline 
2 & 4,8 & 0,7 & 140 \\\hline 
3 & 4 & 1,5 & 118 \\\hline 
4 & 4,8 & 1,5 & 120 \\\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère que l'expression de $\mathbf{Y}$ suit un modèle polynomial de la forme :

$\mathbf{Y} = a_0+ a_1\mathbf{X_1} + a_2\mathbf{X_2} + a_{12}\mathbf{X_1X_2} + \epsilon$ , la variable aléatoire $\epsilon$ étant négligée dans les calculs.
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter sur la copie la matrice de calcul des effets construite selon l'algorithme de Yates : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
Expérience & Moyenne & $\mathbf{X_1}$ & $\mathbf{X_2}$ & $\mathbf{X_1X_2}$ & $\mathbf{Y}$ \\\hline 
1 &  &  &  &  &  \\\hline 
2 &  &  &  &  &  \\\hline 
3 &  &  &  &  &  \\\hline 
4 &  &  &  &  &  \\\hline 
Effets & $a_0$ & $a_1$ & $a_2$ & $a_{12}$ & \multicolumn{1}{|c}{}  \\\cline{1-5} 
\end{tabular} 
\end{center}	

		\item Prouver que l'expression du modèle est : $\mathbf{Y} = 128 + 2\mathbf{X_1} - 9\mathbf{X_2} - \mathbf{X_1X_2} + \epsilon$ ; on présentera le calcul des estimations des effets sur la copie.
		\item La plus grande conductivité observée lors des quatre expériences se situe dans l'expérience 2.
	
Justifier, en utilisant l'expression du modèle, qu'iI s'agit de la conductivité maximale que I'on peut obtenir lorsque les facteurs varient dans leurs intervalles respectifs.
		\item On fixe la teneur en $M_1$ à la valeur 4,4 ($\mathbf{X_1}=0$). La conductivité $\mathbf{Y}$ est alors une fonction de $\mathbf{X_2}$.
	
Quel est son sens de variation ?
	\end{enumerate}
\item On souhaite fabriquer un alliage dont la conductivité est égale a 128 $Wrn^{-1}K^{-1}$.

À l'aide de l'expression du modèle, justifier qu'il suffit de choisir des teneurs égales à 4,4 en $M_1$ et 1,1 en $M_2$ pour réaliser un tel alliage.

\item On souhaite toujours fabriquer un alliage dont la conductivité est égale à 128 $Wm^{-1}K^{-1}$ mais avec la contrainte suivante : la teneur en métal	 $M_1$ doit être égale à 4 ($\mathbf{X_1}= -1$).
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que le facteur $\mathbf{X_2}$ doit prendre la valeur $-0,25$.
		\item Dans cette question on cherche à déterminer à quelle teneur en $M_2$ correspond la  condition $\mathbf{X_2}=-0,25$.
	
Soit $f$ une fonction définie sur [$-1$ ; 1] par $f(x) = ax + b$, $a$ et $b$ étant deux réels.
	
Déterminer $a$ et $b$ tels que l'on ait $f(-1)=0,7$ et $f(1)=1,5$, puis en déduire la teneur en $M_2$ à choisir pour réaliser l'alliage.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une chaîne de fabrication produit des pièces faites de l'alliage précédent ; on note $m$ la moyenne des conductivités des pièces fabriquées par cette chaine ; afin de tester son bon fonctionnement on met en place un test d'hypothèse bilatéral au risque de 1\,\%. On donne l'hypothèse nulle H$_0$ : $m =128$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'hypothèse alternative H$_1$ ? 
\item Soit $\overline{X}$ la variable aléatoire égale à la moyenne des conductivités des pièces d'un échantillon aléatoire de taille 64 ; on admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type $\dfrac{3}{\sqrt{64}}$.

Sous l'hypothèse H$_0$, déterminer la valeur arrondie à 0,01 près du réel $h$ telle que : $P(m-h<X<m+h)=0,99$.
\item Enoncer la règle de décision du test.
\item On dispose d'un échantillon aléatoire de taille 64 dont on a mesuré la conductivité des pièces : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
Conductivité & 124 & 125 & 126 & 127 & 128 & 129 & 130 & 131 \\\hline 
Effectif & 3 & 5 & 8 & 13 & 16 & 11 & 7 & 1 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

D'après cet échantillon et, au risque de 1 \%, peut-on considérer que l'on a $m = 128$ ?
\end{enumerate}
\end{document}