%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : J. C. Lazure
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~
\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Chimie}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{mai 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Chimiste session 2011}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

On considère deux réactions chimiques opposées, toutes deux d'ordre 1.

\medskip

A $\longrightarrow$ B est une réaction réversible, de constante de vitesse $k_1$, et B $\longrightarrow$ A est la réaction opposée, de constante de vitesse $k_2$. On désigne par $x(t)$ et $y(t)$ les concentrations respectives (exprimées en moles par litre) des produits A et B à l'instant $t$ (positif et exprimé en secondes) et l'on admettra que les fonctions $x$ et $y$ sont définies et deux fois dérivables sur l'intervalle [0 ; $+\infty$[. Seul le produit A étant présent à l'instant initial, on pose $x(0)=x_0$, avec $x_0>0$ et l'on a donc $y(0)=0$.

\medskip 

Les lois de la cinétique chimique permettent d'obtenir le système différentiel $(S)$ suivant :
\[ (S) ~~ \left\lbrace \begin{array}{rcll} x'(t) & = & -k_1x(t) + k_2y(t) & (1) \\ y'(t) & = & k_1x(t) - k_2y(t) & (2) \end{array} \right. ~~\text{avec }t\geqslant 0 ~~,~~ k_1>0 ~~\text{et}~~ k_2>0.
\]

\medskip

\textbf{Partie A : résolution du système différentiel}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $x'(t)+y'(t)$ puis justifier que la fonction $x+y$ est une fonction constante ; déterminer cette constante puis en déduire l'expression de $y(t)$ en fonction de $x(t)$.
\item \`A l'aide de l'équation (1) prouver que : $x'(t)+\left(k_1+k_2\right) x(t)=k_2x_0$.
\item On considère les équations différentielles :

$(E) ~:~ u'+(k_1+k_2)u=k_2x_0$ ~~ et ~~ $(E_0) ~:~ u'+(k_1+k_2)u=0$,

dans lesquelles $u$ désigne une fonction définie et dérivable sur [0 ; $+\infty$[.
	\begin{enumerate}
	\item Résoudre l'équation $(E_0)$.
	\item Déterminer une fonction constante solution de l'équation $(E)$.
	\item Résoudre alors l'équation $(E)$.
	\end{enumerate}
\item En déduire, en utilisant la condition initiale et les questions précédentes, que l'on a :
\[ x(t)= x_0 \left( \dfrac{k_2}{k_1+k_2} + \dfrac{k_1}{k_1+k_2}\text{e}^{-(k_1+k_2)t} \right) ~~\text{et}~~ y(t)= x_0 \left( \dfrac{k_1}{k_1+k_2} - \dfrac{k_1}{k_1+k_2}\text{e}^{-(k_1+k_2)t} \right) \]
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Partie B : application}

\medskip

Dans cette partie on suppose $x_0=1$ , $k_1=\dfrac{1}{30}$ et $k_2=\dfrac{1}{60}$ ; les courbes représentatives des fonctions $x$ et $y$ sont données en \textbf{Annexe}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation des fonctions $x$ et $y$.
\item Déterminer $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} x(t)$ et $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} y(t)$.
\item Déterminer l'instant $t_1$ auquel les concentrations des produits A et B sont égales et en donner une valeur approchée à 0,01 près.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

Le béton est un matériau composite qui, après hydratation, acquiert progressivement sa résistance. La réaction chimique (appelée \og \emph{prise}\fg) qui procure cette résistance étant assez lente, les tests de résistance d'un béton sont effectués bien avant l'obtention de la résistance maximale et généralement quatre semaines après le début de la réaction. Cette résistance se mesure en \emph{MP}a (méga Pascal).

\medskip

\begin{enumerate}
\item A quatre semaines, cette résistance est soumise au sein d'un même ouvrage à des fluctuations : quantité d'eau apportée lors de l'hydratation, conditions climatiques, dispersion de fabrication, etc. Dans cette question on note $R$ la variable aléatoire qui à chaque parcelle de béton de l'ouvrage choisie au hasard associe la résistance du béton mesurée en $MP$a. On suppose que $R$ suit la loi normale de moyenne 81,5 et d'écart-type 4,5. On donnera les résultats à 0,01 près.

\medskip
	\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité qu'une parcelle prélevée au hasard ait une résistance inférieure ou égale à 90 \emph{MP}a.
	\item Calculer la probabilité qu'une parcelle prélevée au hasard ait une résistance supérieure ou égale à 76 \emph{MP}a.
	\item Calculer $P(77 \leqslant R \leqslant 86)$. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Les normes de résistance sont établies par coulage de béton à l'intérieur d'é\-prou\-vettes de test pouvant être, selon les pays, de forme cubique ou cylindrique. On constate que la résistance $y$ d'un même béton, mesurée sur une éprouvette cubique est plus élevée que sa résistance $x$ mesurée sur une éprouvette cylindrique. Par exemple la norme 30/37 fait référence à une résistance de 30 \emph{MP}a sur cylindrique et de 37 \emph{MP}a sur cubique. Le tableau suivant donne en correspondance les résistances mesurées pour divers types de béton :



\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Valeurs de $x$ (éprouvette cylindrique) & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 \\ 
\hline Valeurs de $y$ (éprouvette cubique) & 25 & 37 & 50 & 60 & 75 & 85 & 95 \\ 
\hline 
\end{tabular}
\end{center} 

	\begin{enumerate}
	\item Donner à 0,001 près le coefficient de corrélation linéaire se la série statistique double ($x$, $y$) et expliquer pourquoi un ajustement affine semble justifié dans ce cas.
	\item Déterminer une équation de la forme $y=ax+b$ de la droite de régression $D$ de $y$ par rapport à $x$ ; on donnera les valeurs de $a$ et $b$ à 0,01 près.
	\item On conçoit un béton ayant une résistance de 120 \emph{MP}a sur éprouvette cubique ; quelle est la norme que l'on peut prévoir indiquée pour celui-ci ?
	\end{enumerate}
\item Une société commercialise des lots de blocs de béton dont elle affirme que la résistance moyenne $m$ est strictement supérieure à 60 \emph{MP}a. Afin de mettre à l'épreuve cette affirmation, on décide d'utiliser un test d'hypothèse unilatéral au risque de 1\%. On admet que la variable aléatoire $X$ qui à tout bloc choisi au hasard dans un lot associe sa résistance suit une loi normale de moyenne $m$ inconnue et d'écart-type $\sigma = 3$. On désigne par $\overline{X}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire et non exhaustif de taille 36 de blocs associe la moyenne des résistances des blocs de cet échantillon.
	\begin{enumerate}
	\item L'hypothèse nulle est H$_0$ : $m=60$. Quelle est l'hypothèse alternative H$_1$ ?
	\item On se place sous l'hypothèse H$_0$. Quelle est la loi suivie par $\overline{X}$ ?
	\item Sous l'hypothèse H$_0$, déterminer un réel $u$ approché à 0,01 près tel que $P\left(\overline{X}\leqslant 60+u\right) = 0,99$.
	\item Énoncer la règle de décision du test.
	\item Le tableau ci-dessous donne la répartition des résistances d'un échantillon aléatoire et non exhaustif de 36 blocs :
	
\medskip
	
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Résistance mesurée & 57 & 58 & 59 & 60 & 62 & 64 & 65 \\ 
\hline Effectif & 1 & 2 & 4 & 9 & 10 & 6 & 4 \\ 
\hline 
\end{tabular}  

\medskip

Appliquer le test et conclure.
	\end{enumerate}


\end{enumerate}

\newpage


\begin{landscape}

\begin{center}
\psset{xunit=0.12cm,yunit=8cm}
\begin{pspicture}(170,1.5)
\psaxes[Dx=10,Dy=0.1,comma=true](0,0)(0,0)(165,1.42)
\uput[r](0,1.37){concentrations (mol/l)}
\rput(150,0.07){instant $t$ (en secondes)}
\rput(80,1.35){\large{\textbf{Annexe}}}
\rput(90,1.2){courbe représentant la fonction $x$ (produit A)}
\rput(90,1.1){courbe représentant la fonction $y$ (produit B)}
\psplot[linewidth=1.5pt]{0}{165}{1 2 2.71828 x 20 div -1 mul  exp mul add 3 div}
\psplot[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt]{0}{165}{1 2.71828 x 20 div -1 mul  exp sub 3 div 2 mul}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.8pt](0,0.5)(27.726,0.5)(27.726,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](0,0.5)(27.726,0)
\uput[d](27.5,0.005){$t_1$}
\psline[linewidth=1.5pt](45,1.2)(60,1.2)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](45,1.1)(60,1.1)
\end{pspicture}

\end{center}

\end{landscape}


\end{document}