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%Tapuscrit : J. C. Lazure
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Chimie}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center}\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Chimiste session 2010}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

On considère deux réactions totales et successives d'ordre 1 dans un
milieu homogène. Celles-ci concernent trois produits A, B et C, le schéma
est le suivant :

\medskip

A $\overset{k_1}{\longrightarrow}$ B $\overset{k_2}{\longrightarrow}$	C
~~($k_1$ et $k_2$ sont des constantes positives telles que $k_1 \neq
k_2$).

\medskip 

On nomme $x$, $y$ et $z$ les concentrations relatives des produits A, B et
C à l'instant $t$ (en minutes), $t \geqslant 0$.

Les conditions initiales sont les suivantes : $x(0) =1$, $y(0) = 0$ et
$z(0) =0$.

\begin{center}
\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Détermination des concentrations}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'étude cinétique permet d'abord d'écrire l'équation différentielle

\[(1) ~: \quad \dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} = -k_1x\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation (1).
		\item Déterminer la solution qui vérifie la condition initiale $x(0)
=1$.
	\end{enumerate}
\item L'étude cinétique permet ensuite d'écrire l'équation (2) :
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} + k_2 y=k_1 \text{e}^{-k_1t}$.
	\begin{enumerate}
		\item Trouver un réel $\alpha$ tel que la fonction $f$ définie par $f(t)
= \alpha \text{e}^{-k_1t}$ soit une solution particulière de l'équation
(2).
		\item Résoudre l'équation (2).
		\item Déterminer la solution qui vérifie la condition initiale $y(0) =
0$.
	\end{enumerate}
\item D'après le principe de conservation de la matière, on a, pour tout
nombre réel $t$ positif : \[x(t)+y(t)+z(t) =x(0)+y(0)+z(0).\]
Exprimer alors $z(t)$ en fonction de $t$.\\
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}

\medskip

\textbf{Étude des variations des concentrations dans le cas où \boldmath $k_1 = 0,5$ \unboldmath et \boldmath $k_2 = 1$ (en min$^{-1}$)\unboldmath}
\end{center}

On a dans ce cas : $x(t)= \text{e}^{-0,5t}$, $y(t) =
\text{e}^{-0,5t}-\text{e}^{-t}$ et $z(t) =1-2\text{e}^{-0,5t}
+\text{e}^{-t}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le sens de variation de la fonction $x$ ?
\item Après avoir montré que la dérivée $y'$ de $y$ est définie par

\[y'(t) = \text{e}^{-0,5t} \left(-0,5 + \text{e}^{-0,5t} \right),\]

montrer que, sur l'intervalle [0 ; $+\infty$[, la fonction $y$ admet un
maximum $M$ que l'on déterminera ainsi que l'instant $t_M$ tel que $y(t_M)
= M$.
\item Étudier les variations de la fonction $z$ sur l'intervalle [0~;~
$+\infty$[. On précisera la limite de $z$ en $+\infty$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{les parties A, B et C sont indépendantes}

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}
Un technicien étudie le courant d'électrolyse traversant une cellule
contenant une solution d'un électrolyte donné. Il souhaite optimiser ce
courant en faisant varier trois facteurs : la dilution de la solution,
comprise entre 10\,\% et 90\,\%, la température de la solution, comprise entre
50~\degres C et 80~\degres C, et la surface de l'électrode comprise entre 5 et 10
cm$^2$.

Il va réaliser un plan d'expérience $2^3$, sans tenir compte des
interactions, construit selon l'algorithme de Yates.

\medskip

Le courant traversant le circuit est ensuite mesuré et est exprimé par le
rapport de ce courant à un courant servant de référence, ce qui permet de
l'exprimer en pourcentage. Cette valeur $Y$ est modélisée par une
expression de la forme :

\[Y=a_0+a_1 X_1+a_2X_2+a_3X_3 + \varepsilon\]

où l'on ne tient pas compte des interactions.

$\varepsilon$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale de
moyenne nulle.

$X_1$ représente la dilution, $X_2$ la température et $X_3$ la surface de
l'électrode.

On attribue les niveaux suivants aux facteurs :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline Niveau & $-1$ & $+1$ \\ 
\hline Dilution & 10\:\% & 90\:\% \\ 
\hline Température & 50 \degres C & 80 \degres C \\ 
\hline Surface & 5~cm$^2$ & 10~cm$^2$ \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

Les résultats des huit expériences sont les suivants :

\begin{center}
{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline Expérience & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 
\hline Dilution & 10\:\% & 90\:\% & 10\:\% & 90\:\% & 10\:\% & 90\:\% & 10\:\% & 90\:\% \\
\hline Température & 50 \degres C & 50\degres C & 80\degres C & 80\degres C & 50\degres C & 50\degres C & 80\degres C & 80\degres C
\\ 
\hline Surface & 5 cm$^2$ & 5 cm$^2$ & 5 cm$^2$ & 5 cm$^2$ & 10 cm$^2$ &
10 cm$^2$ & 10 cm$^2$ & 10 cm$^2$ \\ 
\hline Courant & 15\:\% & 9\:\% & 61\:\% & 49\:\% & 17\:\% & 11\:\% & 64\:\% & 54\:\% \\ 
\hline 
\end{tabularx}} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter la matrice des effets sans interactions sur le
tableau figurant dans l'annexe qui sera rendue avec la copie.
\item Calculer une estimation ponctuelle des coefficients $a_0$ , $a_1$ ,
$a_2$ et $a_3$ et donner l'expression du modèle.
\item Représenter graphiquement l'effet des facteurs $X_1$ et $X_2$.
\item Que conseilleriez-vous au technicien afin d'obtenir un courant
maximum ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}
Dans les conditions de l'expérience réalisée par le technicien, on peut
considérer que la variable aléatoire $X$ qui, à chaque électrode tirée au
hasard, associe sa durée de vie exprimée en heures, suit la loi normale de
moyenne 30 et d'écart-type 2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité pour qu'une électrode prise au hasard ait
une durée de vie d'au moins 30 heures ?
\item Quelle est, à $10^{-3}$ près, la probabilité pour qu'une électrode
prise au hasard ait une durée de vie comprise entre 28 et 32 heures ?
\item Sachant que la durée de vie d'une électrode est supérieure à 30
heures, quelle est, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'elle soit
supérieure à 35 heures ?\\
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

\emph{Dans cette question les résultats seront arrondis à $10^{-2}$
près.}

\medskip

Une entreprise fabrique, en très grand nombre, des électrodes dont la
surface, mesurée en cm$^2$, a pour moyenne inconnue $\mu$ et pour
écart-type 0,18.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le technicien a reçu 10 électrodes de cette production. Il a mesuré
les surfaces, en cm$^2$ , des électrodes de cet échantillon extrait de la
production de l'entreprise et il a obtenu les résultats suivants :

\begin{center}
4,8 ~;~ 5,3 ~;~ 5,1 ~;~ 5,0 ~;~ 4,9 ~;~ 5,0 ~;~ 5,2 ~;~ 4,8 ~;~ 5,0 ~;~
5,2.
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la moyenne des surfaces et, à $10^{-2}$ près, l'écart-type
sur cet échantillon.
		\item Donner une estimation ponctuelle de $\mu$.
	\end{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon non
exhaustif de 10 électrodes, associe la moyenne de la surface de ces 10
électrodes en cm$^2$.

On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type
$\dfrac{0,18}{\sqrt{10}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner un intervalle de confiance de $\mu$ avec un coefficient de
confiance de 95\,\%.
		\item Peut-on affirmer que la moyenne $\mu$ appartient à cet intervalle ?
Expliquer la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline \rule[-10pt]{0pt}{25pt} Expériences \par & Moyenne & $~~~X_1~~~$ &
$~~~X_2~ ~$ & $~~~X_3~~~$ & Passage \par du \par courant \\ 
\hline \rule[-10pt]{0pt}{25pt} 1 &  &  &  &  & 15\% \\ 
\hline \rule[-10pt]{0pt}{25pt} 2 &  &  &  &  & 9\% \\ 
\hline \rule[-10pt]{0pt}{25pt} 3 &  &  &  &  & 61\% \\ 
\hline \rule[-10pt]{0pt}{25pt} 4 &  &  &  &  & 49\% \\ 
\hline \rule[-10pt]{0pt}{25pt} 5 &  &  &  &  & 17\% \\ 
\hline \rule[-10pt]{0pt}{25pt} 6 &  &  &  &  & 11\% \\ 
\hline \rule[-10pt]{0pt}{25pt} 7 &  &  &  &  & 64\% \\ 
\hline \rule[-10pt]{0pt}{25pt} 8 &  &  &  &  & 54\% \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

\end{document}