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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Chimie}
\lfoot{\small{Chimiste}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Chimiste session 2009}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On étudie la réaction de dimérisation du buta -1,3 - diène en phase gazeuse, symbolisée par :

\[2\text{B (gaz)} \rightarrow \text{C(gaz)}\]
 
On étudie la cinétique de cette réaction. 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] À l'instant $t = 0$, la concentration du buta -1,3 - diène est notée $a$, 
\[[\text{B}]_{\text{init}} = a ~~\text{où}~ 8~~ \text{est strictement positif.}\] 
\item[$\bullet~$] De même à l'instant $t$, la concentration du buta -1,3 - diène est notée $x(t)$. 
\[[\text{B}] = x(t) ~~\text{où}~~ x \text{est une fonction telle que :}~ 0 < x(t) \leqslant 8. \]
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On admet que la vitesse $v$ de la réaction obéit à la loi cinétique : 
\[(1)\qquad  	v = k [\text{B}]^2\] 
où $k$ est une constante strictement positive liée è la réaction, et on rappelle que la vitesse $v$ de la réaction est définie par : 

\[(2)\qquad 	v(t) = - \dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} = - x'(t)~ \text{où}~ x' \text{est la fonction dérivée de la fonction} x.\]
 
Le temps $t$ s'exprime en minutes. 

\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie A : étude théorique} \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item  Justifier que le fonction $x$ vérifie l'équation différentielle. notée (E), $- \dfrac{x'}{x^2} = k$ en utilisant les relations (1)   et (2).
\item Démontrer que la solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale $x(0) = a$ est telle que : 
\[ x(t)= \dfrac{a}{akt+1}.\] 
\item Exprimer le temps de demi-réaction, noté $t_{0,5}$  au bout duquel la moitié du buta -1,3 - diène initial a été consommée, en fonction de $k$ et $a$. 
\item Exprimer le temps de trois-quarts de réaction, noté $t_{0,75}$ au bout duquel les trois-quarts du buta -1,3 - diène initial ont été consommés, en fonction de $k$ et $a$. 
\item Vérifier que  $\dfrac{t_{0,75}}{t_{0,5}} =  3$. 
\item Après quel instant, exprimé en fonction de $k$ et $a$, restera-t-il moins de 10\:\% 
du buta -1,3 - diène initial ? 
\end{enumerate}

\medskip


\begin{center}\textbf{Partie B : exploitation de résultats expérimentaux}
\end{center}

\medskip

 On donne $a = 2,000 \text{mol.L}^{-1}$.
  
On obtient expérimentalement les résultats suivants : 

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.6cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ en minutes &0& 5 &10 &15 &20 &25 &30 \\ \hline
$x(t) ~\left(\text{en mol.L}^{-1}\right)$& 2,000 &1,301 &0,999 &0,803 &0,665 &0,571 &0,498\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Lire dans le tableau ci-dessus les valeurs approchées des temps de demi-réaction et trois-quarts de réaction, puis vérifier que ces valeurs approchées sont dans un rapport 3 comme établi dans la partie A question 5. 
\item Reproduire sur la copie et compléter le tableau ci-dessous (on arrondira à $10^{-3}$) :

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.6cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ en minutes &0& 5 &10 &15 &20 &25 &30 \\ \hline 
 $z(t) = \dfrac{1}{x(t)}$&&&&&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1} 
 \item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $t$ et $z$ arrondi à $10^{-4}$. 
	\item Un ajustement linéaire est-il justifié ? 
	\end{enumerate}
 \item Déterminer une équation de la droite des moindres carrés sous la forme 
 
 $z = m t + p (m$ et $p$ seront donnés avec une précision de $10^{-2}$). En déduire une expression approchée de $x(t)$ en fonction de $t$. 
 \item En utilisant le résultat de la modélisation de la deuxième question de la partie A. déterminer une valeur approchée de la constante $k$ de la réaction. 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise fabrique en grande série des fioles jaugées de laboratoire de contenance théorique 500 mL. Ces fioles jaugées sont donc calibrées sur 500 mL (dans toute la suite du problème on désignera par fiole une fiole jaugée), On s'intéresse à la qualité de la calibration à l'aide d'un contrôle gravimétrique. 

\medskip

\textbf{Les résultats des calculs seront arrondis au millième sauf indication contraire.} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque fiole, associe le résultat du contrôle gravimétrique en mL. On considère que X suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart type $\sigma = 0,1$. 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité d'obtenir le résultat du contrôle dans l'intervalle [499,8~;~500,2]. 
\item  Déterminer à $10^{-3}$ près le nombre positif $h$ tel que 80\:\% des résultats appartiennent à l'intervalle $[ 500 - h~;~ 500 + h]$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On refuse toutes les fioles pour lesquelles le volume obtenu lors du contrôle gravimétrique est supérieur à $500,2$~mL ou inférieur à 499,8~ml et elles sont alors considérées comme défectueuses, On suppose maintenant que la probabilité qu'une fiole soit défectueuse est égale à $0,05$.
 
Dans un lot d'un très grand nombre de fioles, on effectue un contrôle sur 50~fioles choisies au hasard. On appelle alors Y la variable aléatoire qui,  à tout lot de 50~fioles, associe le nombre de fioles défectueuses.
 
On assimile les prélèvements de 50~fioles à des tirages de 50~fioles avec remise.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que Y suit une loi binomiale de paramètres $50$ et $0,05$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner une valeur approchée de la probabilité qu'il n'y ait aucune fiole défectueuse dans le lot.
	\item Donner une valeur approchée de la probabilité qu'II y ait au moins trois fioles défectueuses dans le lot.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
À l'occasion d'une commande, un laboratoire reçoit des fioles de l'entreprise, laquelle lui assure que les fioles jaugées ont bien une contenance de 500~mL. Il envisage d'effectuer un test de conformité de la commande reçue, avec la valeur $\mu = 500$ annoncée par l'entreprise. Pour réaliser ce test d'hypothèse bilatéral, il effectuera un prélèvement aléatoire, assimilé à un prélèvement avec remise de 100~fioles prises dans le lot reçu.

Soit $\overline{\text{X}}$ la variable aléatoire qui, il un tel prélèvement, associe le volume moyen des 100 fioles. 

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Construction du test}
 
À l'hypothèse nulle H$_{0}$ : \og  $µ = 500$ \fg, on oppose l'hypothèse alternative H$_{1}$ : \og $\mu \neq 500$ \fg.
 
Sous l'hypothèse nulle H$_{0}$, on admet que $\overline{\text{X}}$ suit la loi normale de moyenne 500 et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}} = 0,01$. 

	\begin{enumerate}
		\item  En se plaçant sous l'hypothèse H$_{0}$, déterminer la valeur arrondie à $10^{-2}$ près du réel $h$ tel que la probabilité $P(\mu - h \leqslant  \overline{\text{X}} \leqslant  \mu + h )$ soit égale à $0,95$. 
	\item En déduire l'intervalle d'acceptation de l'hypothèse H$_{0}$ au seuil de risque de 5\:\%. 
	\item Énoncer la règle de décision du test. 
	\end{enumerate}
\item \textbf{Utilisation du test}
 
Le laboratoire, après avoir prélevé 100~fioles, constate un volume moyen de $499,96$~mL. 

Appliquer le test à l'échantillon puis conclure. 
\end{enumerate}
\end{document}