%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Chimiste }}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Chimiste session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On considère trois réactions d'ordre 1 formant le cycle suivant :\\

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(4,3.75)
%\psgrid
\rput(0,0){C} \rput(3.5,1){B} \rput(1,3.5){A}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.2,0.2)(1,3.2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(3.3,0.8)(0.4,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1.2,3.2)(3.2,1.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On désigne par $x,~ y$ et $z$ les concentrations en mol.L$^{-1}$ à l'instant $t$ des produits A, B et C ($t$ exprimé en minutes).

Sachant qu'à chaque instant $t$, on a : $x + y + z = 3$, les lois cinétiques donnent, en remplaçant $z$ par $3 - x - y$, les équations suivantes :

\medskip

\[\left\{\begin{array}{l c l r}
\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}& = & - 2x - y + 3 \quad & (1)\\
\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}& = & -y + x \quad & (2)\\
z& = &3 - x - y\quad &	(3)\\
\end{array}\right.\]

avec les conditions initiales $x(0) = 3,~ y(0) =  z(0) = 0$.

\medskip

Les deux premières équations permettent d'établir une équation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants $\left(E_{1}\right)$ vérifiée par $x$ :

\[\left(E_{1}\right) \dfrac{\text{d}^2 x}{\text{d}t}+ 3\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} + 3x = 3.\]

On rappelle que $\dfrac{\text{d}^2 x}{\text{d}t}$	est la dérivée seconde de la fonction $x$ et que  $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}$	est la dérivée de la fonction $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans $\C$ l'équation du second degré d'inconnue $r$ suivante :

\[\left(E_{c}\right) \quad  r^2 + 3r + 3 = 0.\]

\item  En déduire la solution générale de l'équation différentielle du second ordre suivante

\[\left(E_{0}\right) \quad \dfrac{\text{d}^2 x}{\text{d}t}+ 3\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} + 3x = 0.\]

\item  Déterminer une fonction constante solution particulière de l'équation différentielle du second ordre $\left(E_{1}\right)$.
\item  En utilisant les résultats précédents, donner la solution générale de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$.
\item  En utilisant l'équation (1), calculer la valeur prise par la dérivée de la fonction $x$ en zéro : $x'(0)$.
\item  Montrer que la solution de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ qui vérifie les conditions initiales est la fonction $x$ définie pour $t \geqslant 0$ par

\[x(t) = 1+ 2\text{e}^{- 1,5t} \cos \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t  \right).\]

\item  Calculer la dérivée de la fonction $x$. En déduire l'expression de la fonction $y$.
\item  Déterminer la fonction $z$ en utilisant l'équation (3).
\item  Calculer, en les justifiant, les limites de $x(t),~y(t)$ et $z(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On produit du styrène par déshydrogénation catalytique de l'éthylbenzène. Pour étudier le rendement de cette production, on réalise un plan d'expérience $2^3$ complet, construit selon l'algorithme de Yates.

Les trois facteurs sont :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] X1 : la nature du catalyseur ; 
\item[] X2 : la température ;
\item[] X3 : le rapport molaire vapeur d'eau / éthylbenzène.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

En fonction du domaine expérimental, on attribue les niveaux suivants à chacun des facteurs :
  
\medskip
  
\begin{center}\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
niveau&	$-1$&	$+1$\\ \hline
X$_{1}$ : catalyseur&	C$_{1}$&	C$_{2}$\\ \hline
X$_{2}$ : température&	800 K& 	1000 K\\ \hline
X$_{3}$ : rapport molaire&	4/1&	9/1\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

\medskip

On réalise huit expériences dont les résultats sont donnés par le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
expérience		&1	&2&	3&4&5&6&7&8\\ \hline
catalyseur		&C$_{1}$&	C$_{2}$&C$_{1}$&C$_{2}$&C$_{1}$&C$_{2}$&C$_{1}$&C$_{2}$\\ \hline
température		&800 K&800 K&\np{1000} K&\np{1000} K&800 K&800 K&\np{1000} K	&\np{1000} K\\ \hline
rapport molaire	&4/1&4/1&4/1&4/1&9/1&9/1&9/1&9/1\\ \hline
rendement (\%)	&	46&	40&	92&	80&	48&	42&	95&	85\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Le modèle retenu pour le rendement $Y$ est un modèle polynomial de la forme

\[Y = a_{0} + a_{1} X_{11} + a_{2} X_{2} + a_{3} X_{3} + a_{12} X_{1}X_{2} + a_{13} X_{1}X_{3} + a_{23} X_{1}X_{3} +a_{123} X_{1}X_{2}X_{3} + \epsilon.\]

\textbf{Les réponses concernant cette partie A seront données sur la feuille Annexe (recto-verso) qui sera jointe à la copie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter la matrice complète des expériences et des effets, ci-jointe en annexe ; calculer une estimation ponctuelle de chacun des coefficients du modèle.
\item  Si on considère qu'un effet dont l'estimation ponctuelle est inférieure à 1\,\% est non significatif, donner l'expression du modèle.
\item  La représentation graphique de l'effet du facteur X$_{1}$ est donnée par le graphique ci-joint en annexe. Justifier les valeurs de $Y$ données sur le graphique en annexe.

Quel est l'effet global du facteur X$_{1}$ ?

Quelle conclusion peut-on en tirer afin d'obtenir le meilleur rendement ?
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On utilise le styrène dans la fabrication du polystyrène. À la fin de la chaîne de transformation un broyeur délivre le polystyrène en granulés. Afin de contrôler la granulométrie, on prélève un échantillon de $100$~granulés et on mesure leur diamètre, en millimètre. La moyenne $m$ et l'écart type $s$ de cet échantillon sont tels que $m = 4,63$ et $s = 0,15$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Cet échantillon étant assimilé à un échantillon non exhaustif, déduire des résultats obtenus pour cet échantillon une estimation ponctuelle (à $10^{-2}$ près) de la moyenne $\mu$ et de l'écart type $\sigma$ des diamètres des granulés délivrés par ce broyeur.

\emph{Dans la suite de l'exercice on considérera que la valeur de l'écart type $\sigma$ est l'estimation ponctuelle obtenue.}
\item  On suppose que la variable aléatoire $\overline{X}$ qui, à tout échantillon non exhaustif de taille $n = 100$, associe la moyenne des diamètres des granulés de cet échantillon suit une loi normale. Quels sont les paramètres de cette loi ?
\item  Déterminer un intervalle de confiance de la moyenne des diamètres $\mu$ avec un coefficient de confiance égal à 95\:\%.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

{\large \textbf{Annexe : Exercice 2 - Partie A}}

\emph{Feuille des réponses (recto-verso) à joindre à la copie}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Matrice des effets :

\medskip
 
\hspace*{-0.5cm} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}p{1.5cm}|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|c|c|c|c|}>{\centering \arraybackslash}p{1.1cm}|}\hline 
Expérience& 	Moyenne&	X$_{1}$&	X$_{2}$&	X$_{3}$&	X$_{1}$X$_{2}$&	X$_{1}$X$_{3}$&	X$_{2}$X$_{3}$&	X$_{1}$X$_{2}$X$_{3}$&	Y observé\\ \hline
1&&&&&&&&&	46\\ \hline
2&&&&&&&&&	40\\ \hline
3&&&&&&&&&	92\\ \hline
4&&&&&&&&&	80\\ \hline
5&&&&&&&&&	48\\ \hline
6&&&&&&&&&	42\\ \hline
7&&&&&&&&&	93\\ \hline
8&&&&&&&&&	85\\ \hline
Estimation des effets&$a_{0}$&$a_{1}$&$a_{2}$&	$a_{3}$&$a_{12}$&$a_{13}$&$a_{23}$&$a_{123}$&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	
Calcul des estimations ponctuelles des effets :

\medskip

$a_{0} =$

\medskip
$a_{1} =$

\medskip
$a_{3} =$ 
	
\medskip	
$a_{12} =$

\medskip
$a_{13} =$ 

\medskip
$a_{23} =$

\medskip
$a_{123} = $

\item Expression du modèle :

$Y = $

\vspace{1cm}

Feuille de réponses (suite)
\item Représentation graphique de l'effet de facteur X$_{1}$ :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(-0.1,-0.1)(5,5)
\psline[linestyle=dashed](0,0.8)(4,0.8)
\psline[linestyle=dashed](0,3)(1.2,3)
\psline[linestyle=dashed](1.2,0)(1.2,3)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,0.8)
\uput[d](5,0){X$_{1}$} \uput[l](0,5){Y}
\uput[d](1.2,0){$-1$}\uput[d](4,0){$1$}
\uput[l](0,0.8){$61,65$}\uput[l](0,3){$70,25$}
\psline(4,0.8)(1.2,3)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}