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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Chimiste}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\pagestyle{fancy}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2005 - Chimiste}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des appareils de mesures qui doivent satisfaire à un cahier des charges.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude préalable a montré que 99\:\% des appareils fabriqués sont conformes au cahier des charges. On choisit, au hasard et de façon non exhaustive (tirages avec remise), $n$ appareils dans l'ensemble de la production.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On suppose dans cette question que $n = 10$.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'appareils conformes parmi les $10$.
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi $X$ suit-elle une loi binomiale ? Quels sont les paramètres de cette loi ?
		\item Déterminer la probabilité pour qu'il y ait au moins $9$~appareils conformes parmi les 10 ; donner une valeur arrondie du résultat à $10^{-3}$ près.
		\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $n =  500$.

Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d'appareils non conformes parmi les $500$.

On considère l'évènement E \og le nombre d'appareils non conformes est supérieur ou égal à $6$ \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on approcher la loi binomiale de la variable aléatoire $Y$ par la loi de Poisson de paramètre $5$ ?
		\item En utilisant cette approximation calculer la probabilité de l'évènement E arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'entreprise met en place un nouveau dispositif censé améliorer la fiabilité des appareils produits. Deux chaînes de fabrication sont mises en service :  la chaîne \no 1, sans nouveau dispositif et la chaîne \no 2 avec le nouveau dispositif. Afin de tester l'hypothèse selon laquelle le nouveau dispositif améliore de manière significative la fiabilité des appareils produits, on a prélevé de manière aléatoire $200$~appareils à la sortie de chacune des deux chaînes de fabrication.

Un pourcentage $p_{1}$ (resp. $p_{2}$) d'appareils issus de la chaîne \no 1 (resp. \no 2) ont fonctionné parfaitement pendant les 3~premiers mois.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Expliquer pourquoi on met en place un test unilatéral.
		\item  On prend pour hypothèse nulle H$_{0}~: ~ p_{1} = p_{2}$. Préciser l'hypothèse H$_{1}$ alternative qui va être opposée à l'hypothèse H$_{0}$.
	\end{enumerate}
		
\medskip
		
On note F$_{1}$ (resp. F$_{2}$) la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille $200$ provenant de la chaîne \no 1 (resp. \no 2) associe la fréquence) $f_{1}$ (resp. $f_{2}$) d'appareils ayant parfaitement fonctionné pendant 3~mois. Sur les deux échantillons prélevés, on a obtenu des valeurs observées qui sont : $f_{1} = 87\:\%$ et $f_{2} =  93\:\%$.

On note D = F$_{2}-$  F$_{1}$.

Sous l'hypothèse nulle, les deux chaînes sont censées produire le même pourcentage $p$ d'appareils conformes et la loi suivie par D (celle que l'on adopte) est la loi normale : $\mathcal{N}\left(0~;~\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{200} + \dfrac{p(1 - p)}{200}}\right)$.

On prend $p =0,9$ car $p= \dfrac{p_{1} + p_{2}}{2}$.

\item Préciser les paramètres de la loi suivie par D.

\item Si $\alpha$ est le seuil de risque, on désigne par $h_{\alpha}$ le réel positif tel que : 

$P\left( D \leqslant  h_{\alpha}\right) = 1 - \alpha$.
	\begin{enumerate}
		\item  On suppose dans cette question que $\alpha =  0,01$.
		
Déterminer la valeur arrondie au centième $h_{\alpha}$.

Énoncer la règle de décision du test. Conclure quant à l'efficacité présumée du nouveau dispositif au seuil de risque $0,01$. 
		\item  On suppose dans cette question que $\alpha =  0,05$.
		
Déterminer $h_{\alpha}$.

Énoncer la règle de décision du test.

Conclure quant à l'efficacité présumée du nouveau dispositif au seuil de risque $0,05$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

Le benzène, à l'état de vapeur, dilué dans un gaz inerte, réagit avec le dichlore.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

 La réaction de chloration du benzène, dans certaines conditions, conduit à la formation de monochlorobenzène et de dichlorobenzène. On peut admettre que la concentration en dichlore est constante pendant toute la durée de la réaction (car cette concentration en dichlore est très grande par rapport à la concentration en benzène).
 
\medskip

À l'instant $t$, exprimé en minute, on désigne par $x(t),~ y(t)$ et $z(t)$ les concentrations molaires respectives du benzène, du monochlorobenzène et du dichlorobenzène en micromole par litre.
 
\medskip

À l'instant $t = 0$, les concentrations molaires sont égales à :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[]  pour le benzène [C$_{6}$H$_{6}$] = $0,2$
\item[] pour le monochlorobenzène [C$_{6}$H$_{5}$Cl] = 0
\item[] pour le dichlorobenzène (C$_{6}$H$_{4}$Cl$_{2}$] = 0.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On admet que les fonctions $x,~y$ et $z$ sont solutions sur $[0~;~+ \infty[$ du système différentiel (S)

\[\left\{\begin{array}{l c l c}
x'(t)& =&- k_{1}x(t) &:~\left(\text{E}_{1}\right)\\
y'(t)& =& k_{1}x(t) - k_{2}y(t)&:~\left(\text{E}_{2}\right)\\ 
z'(t) &=& k_{2}y(t)&:~\left(\text{E}_{3}\right)\\
\end{array}\right. ~
\text{où}~ k_{1}~ \text{et}~ k_{2}~ \text{sont des constantes de vitesse,}~ 0 < k_{1} < k_{2}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{1}\right)$.
		\item  Déterminer la solution de $\left(\text{E}_{1}\right)$ vérifiant la condition initiale $x(0) = 0,2$.
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les solutions $y$ du système (S) vérifient l'équation différentielle $\left(\text{E}_{4}\right)$ :

\[y'(t) + k_{2}y(t) = 0,2k_{1} \text{e}^{-k_{1}t}, ~~ \text{avec}~ t \in [0~;~ +\infty[.\]
		\item Déterminer le réel A de sorte que $t \longmapsto  \text{A}\text{e}^{-k_{1}t}$ soit solution de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{4}\right)$.
		\item Résoudre l'équation différentielle $\left(\text{E}_{4}\right)$.
		\item Déterminer la solution de $\left(\text{E}_{4}\right)$ vérifiant la condition initiale $y(0) = 0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout $t$ supérieur ou égal à $0$ , on a : $x'(t) + y'(t) + z'(t) = 0$.
		\item En déduire la solution $z$ du système (S) vérifiant les conditions initiales à l'instant $t =0$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies respectivement sur $[0~;~ +\infty[$ par :

\[f(t) = \text{e}^{-k_{1}t}- \text{e}^{-k_{2}t}~~	\text{et}~~ g(t)= \dfrac{0,2k_{1}}{k_{2} - k_{1}}f(t).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la dérivée $f'(t)$.
		\item  Montrer que l'équation $f'(t) = 0$ admet une unique solution, qu'on notera $t_{m}$ sur $\R^+$. Exprimer $t_{m}$ en fonction de $k_{1}$ et $k_{2}$.
		\item  Étudier les variations de $f$ sur $\R^+$.
		\item  En déduire que la fonction $g$ admet un maximum en $t_{m}$.
	\end{enumerate}
\item Au cours d'une expérience on constate que le maximum de la fonction $g$ est atteint à l'instant $t =30$.

Quelle relation peut-on déduire entre $k_{1}$ et $k_{2}$ ?
\end{enumerate}
\end{document}