%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-solides3d}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Chimiste}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2004 - Chimiste}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On étudie la cinétique, à 100\degres C, de la substitution de l'atome de chlore de l'acide monochloroacétique par OH$^{-}$ selon la réaction :

\begin{center}
Cl-CH$_{2}$COO$^{-}$  +  OH$^{-}\longmapsto$	HO-CH$_{2}$COO$^{-}$ + Cl$^{-}$
\end{center}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] à l'instant $t = 0$, les concentrations des réactifs sont : [OH$^{-}$]$_{0} = a$ et 

[Cl-CH$_{2}$COO$^{-}$]$_{0} = \dfrac{a}{2}$, où $a$ est un réel donné tel que $a >0$,
\item[$\bullet~$] de même à l'instant $t$, [OH$^{-}$] = $a -x(t)$ et [Cl-CH$_{2}$COO$^{-}$] = $\dfrac{a}{2}- x(t)$ avec 

$0 \leqslant x(t) < \dfrac{a}{2}$,

\item[$\bullet~$] à l'instant $t$,  le rendement de la réaction vaut $r(t) = \dfrac{r(t)}{a/2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On admet que la vitesse de la réaction est donnée par la relation : 

\[v = \dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} = k \cdot \left[\text{Cl-CH}_{2}\text{COO}^{-}\right] \cdot \left[\text{OH}^{-}\right]\]

 où $k$ est une constante liée à la réaction avec $t$ s'exprimant en secondes.

\medskip

\textbf{PARTIE A :  étude théorique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Établir l'équation différentielle, notée (E), liant $\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t},~x,~a$  et $k$.
\item  Trouver les constantes $\lambda$ et $\mu$, exprimées en fonction de $a$, telles que :

\[\text{pour tout}~ z~ \text{de l'intervalle}~ \left[0~;~\dfrac{a}{2}\right] ~~\dfrac{2}{(a - x)(a - 2x)}	= \dfrac{\lambda}{a - x} +
\dfrac{\mu}{a-2x}\]

\item 	Montrer que la solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale $x(0) = 0$ est telle que : $\ln \left(\dfrac{a -x(t)}{a - 2x(t)}\right) =\dfrac{ak}{2}t$ où $\ln$ est la fonction logarithme népérien.
\item 	Montrer que $r(t) = \dfrac{2\left(1 - \text{e}^{At}\right)}{1 - 2\text{e}^{At}}$  ou $A = \dfrac{ak}{2}$  et $r$ désigne le rendement de la réaction.
\item 	On considère dans cette question que $A = 8 \cdot  10^{-4}$ ; déterminer alors le temps $t$ (arrondi à la seconde) pour lequel le rendement $r(t)$ de la réaction est égal à $0,9$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : exploitation de résultats expérimentaux - détermination de $k$}

\medskip

On donne $a =  1,65$ mol.L$^{-1}$. En posant $y(t) = \ln \left(\dfrac{a -x(t)}{a - 2x(t)}\right)$, on obtient les résultats expérimentaux  suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ (en secondes)& 0& 150& 300& 900& \nombre{1200}& \nombre{1500}& \nombre{1800}& \nombre{2100}& \nombre{2400}\\ \hline
$x(t)$&0&0,097&0,222&0,688&0,902&1,130&1,408&1,550&1,938\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la droite des moindres carrées sous la forme : $y = mt + p$ où $m$ et $p$ sont des coefficients réels ; $m$ sera donné avec une précision de $10^{-6}$ et $p$ avec une précision
de $10^{-3}$.

\item En estimant que $p$ est très proche de $0$, et en utilisant le résultat de la modélisation de la 3\up{e} question de la partie A, déterminer une valeur approchée de la constante $k$ de la réaction.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Étude expérimentale d'une colle à prise chimique}

\medskip

\emph{Un fabricant met au point une nouvelle colle à prise chimique (par polymérisation). Durant la phase de collage, la résistance à la traction de la colle augmente de façon significative jusqu'à une valeur maximale. Le fabricant veut étudier la \og durée de prise \fg, c'est à dire la durée nécessaire pour que la résistance de la colle atteigne les trois quarts de sa valeur maximale.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le fabricant étudie l'influence de deux facteurs, la température et l'humidité ambiantes, sur la durée de prise de la colle.

Il note X$_{1}$ (resp. X$_{2}$) la variable qui associe au facteur température (resp. humidité) son niveau, et Y la durée de prise étudiée (exprimée en minutes).
 
Il procède à un plan d'expérience factoriel $2^2$ dont les résultats figurent ci-dessous.
  
\medskip  
  
Tableau 1 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{2.25cm}|p{0.5cm}|p{1.75cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3} \cline{5-7}
Tempéra\-ture X$_{1}$ &	Humidité X$_{2}$ &	Durée de prise (en min) Y&&niveau&	-1&	+1\\ \cline{1-3} \cline{5-7}
18°C&	faible&	11&&température& 	18°C&	22°C\\ \cline{1-3} \cline{5-7}
22°C&	faible&	9&&humidité&	faible&	forte\\ \cline{1-3}\cline{5-7}
18°C&	forte&	10&\multicolumn{3}{c}{}\\\cline{1-3}
22°C&	forte&	13&\multicolumn{3}{c}{}\\ \cline{1-3}
\end{tabularx}

\medskip

Le modèle retenu pour Y est un modèle polynomial du type

\[\text{Y} = a_{0} + a_{1} \text{X}_{1} + a_{2} \text{X}_{2} + a_{12} \text{X}_{1}\text{X}_{2} + \epsilon\]

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter la matrice complète des expériences et des effets, construite selon l'algorithme de Yates :\\

\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Expérience&Moyenne&X$_{1}$&X$_{2}$&X$_{1}$X$_{2}$&Y\\ \hline
1&&&&&  \\ \hline
2&&&&&  \\ \hline
3&&&&&  \\ \hline
4&&&&&  \\ \hline
Effets&$a_{0}$&$a_{1}$&$a_{2}$&$a_{12}$& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item Calculer les estimations ponctuelles des effets principaux et de l'interaction.

Écrire l'équation du modèle de Y en fonction de X$_{1}$ et X$_{2}$.

\item Interprétation des effets :
	\begin{enumerate}
		\item Peut-on négliger l'interaction ?
		\item À la température de 20 \degres C (T = 0) comment varie la durée de prise lorsque l'humidité varie du niveau faible à fort ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le fabricant effectue une deuxième campagne de mesures : il fait réaliser 100~collages indépendants, dans des conditions de température variables entre 18 \degres C et 22 \degres C. Les résultats sont donnés ci-dessous.

\medskip

Tableau 2 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.5cm}|*{9}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée de prise en minutes&[8,5 ; 9[&[9 ; 9,5[&	[9,5 ; 10[ &[10 ; 10,5[&[10,5 ; 11[& [11 ; 11,5[& [11,5 ; 12[ &[12 ; 12,5[ &	[12,5 ; 13[\\ \hline
Effectif&	0&	6&	9&	17&	22&	27&	13&	4& 	2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne $\overline{x}$ et l'écart type $s$ de la série de mesures du tableau 2 (on donnera $\overline{x}$ à 0,01~près et $s$ à 0,1 près).

\item On admet ici que la durée de prise est une variable aléatoire X suivant une loi normale de moyenne $\mu$ inconnue et d'écart-type $\sigma = 0,8$.

On note $\overline{\text{X}}$ la variable aléatoire qui à une série quelconque de 100~collages indépendants associe sa durée moyenne de prise.

Donner la loi de probabilité de $\overline{\text{X}}$ en fonction de $\mu$ et $\sigma$.

\item Le fabricant construit un test bilatéral pour tester l'hypothèse nulle H$_{0}$ : \og $\mu = 10,75$ \fg au seuil de signification de 95\,\% ; l'hypothèse alternative est donc H$_{1}$ : \og $\mu \neq 10,75$ \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  Sous l'hypothèse H$_{0}$, déterminer la valeur arrondie à $0,01$~près du réel $h$ telle que :
\[P(\mu - h \leqslant \overline{\text{X}} \leqslant \mu + h) = 0,95.\]

		\item  En déduire l'intervalle d'acceptation de l'hypothèse H$_{0}$ au seuil de signification de 95\,\%.
		\item  Énoncer la règle de décision du test.
		\item  Appliquer le test à la série de mesures du tableau 2 et conclure.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}