\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-solides3d}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Chimiste}}
\rfoot{\small{Session 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2003 - Chimiste}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 13 points}

\medskip

\emph{Étude de la cinétique d'une réaction en chaîne.}

\medskip

On considère un réacteur dans lequel on fait réagir du $CH_{4}$ dans du $Cl_{2}$ en excès. Dans ce cas, on peut modéliser les réactions par des cinétiques d'ordre 1 :

\[CH_{4} \longrightarrow CH_{3}Cl \longrightarrow  CH_{2} Cl_{2} \longrightarrow	CHCl_{3} \longrightarrow	CCl_{4}\]

On note $a = \left[CH_{4}\right]_{0}$, la concentration initiale en $CH_{4}$ et $k$ une constante réelle non nulle exprimée en min$^{-1}$. Le temps $t$ est exprimé en minutes.

\medskip

Les valeurs approchées seront arrondies au centième le plus proche.

\medskip

Les trois parties A, B et C sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

$\left[CH_{4}\right]_{t}$, étant la concentration en $CH_{4}$ à l'instant $t$, on pose $x(t) = \dfrac{\left[CH_{4}\right]_{t}}{a}$.  À l'instant $t = 0$, la concentration en $CH_{4}$ est égale à $a$ et donc $x(0) = 1$.

Les lois cinétiques donnent l'équation différentielle suivante :

\[\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} = - 4kx	\quad (1)\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la solution générale de l'équation différentielle (1).
		\item  Déterminer la solution de l'équation (1) qui vérifie la condition initiale $x(0) = 1$.
		
$\left[CH_{3}Cl\right]_{i}$ étant la concentration en $CH_{3}Cl$ à l'instant $t$, on pose \\$y(t) =  \dfrac{\left[CH_{3}\right]_{t}}{a}$.

À l'instant $t = 0$, la concentration en $CH_{3}Cl$ est nulle, donc $y (0) = 0$.

Les lois cinétiques donnent l'équation différentielle suivante :

$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} = -3ky+ 4k\text{e}^{-4kt}$ qui s'écrit sous
la forme :

\[y' + 3ky = 4k\text{e}^{-4kt} \quad  	(2)\]

	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle homogène associée : 

$y' + 3ky  = 0$.

\item Déterminer une solution particulière de l'équation (2) de la forme $t \longmapsto \lambda \text{e}^{-4kt}$ où $\lambda$ est une constante réelle.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la solution générale de l'équation différentielle (2).
		\item  Déterminer la solution de l'équation différentielle (2) qui vérifie la condition initiale $y(0) = 0$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

$\left[CH_{2}Cl_{2}\right]_{t}$ et $\left[CHCl_{3}\right]_{t}$ étant les concentrations en $CH_{2}Cl_{2}$ et $CHCl_{3}$ à l'instant $t$, on pose $z(t) = \dfrac{\left[CH_{2}Cl_{2}\right]_{t}}{a}$ et $v(t) =  \dfrac{\left[CHCl_{3}\right]_{t}}{a}$. À l'instant $t = 0$, ces concentrations sont nulles et donc $z(0) = v(0) = 0$.

Les lois cinétiques donnent les équations différentielles suivantes
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{\text{d}z}{\text{d}t}&=&- 2kz + 12k \left(\text{e}^{3kt} - \text{e}^{-4kt}\right) \quad (3)\\
\dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}&=&- kv + 2kz \quad (4)\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $v'(0) = 0$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation (4) s'écrit sous la forme : $z(t) = \dfrac{1}{2k}[v'(t) + kv(t)]$.

		\item  En dérivant cette expression de $z$, exprimer $z' = \dfrac{\text{d}z}{\text{d}t}$ en fonction de $v'= \dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}$ et de $v'' = \dfrac{\text{d}^2v}{\text{d}t^2}$.

		\item  En reportant les expressions de $z$ et de	 $\dfrac{\text{d}z}{\text{d}t}$	dans l'équation (3), montrer que $v$ vérifie
l'équation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants $\left(E_{1}\right)$ suivante :

\[v"+ 3kv' + 2k^2v = 24k^2 \left(\text{e}^{-3kt} - \text{e}^{-4kt}\right) \quad 	\left(E_{1}\right)\]

	\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle homogène $\left(E_{0}\right)$ associée : $v''+ 3kv'+ 2k^2v = 0$.
\item Déterminer une solution particulière de l'équation $\left(E_{1}\right)$ de la forme $t \longmapsto \alpha\text{e}^{-3kt} + \beta \text{e}^{-4kt}$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles.
\item	Donner la solution générale de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$.

\medskip

\textbf{On suppose maintenant que}~\boldmath  $k = 0,1~\text{min}^{-1}$ \unboldmath.
\item Montrer que la solution $v$ qui vérifie les conditions initiales $v(0) = 0$ et $v'(0) = 0$ est définie par : 

		\[v(t) = 4\text{e}^{-0,1t} - 12\text{e}^{-0,2t} +12\text{e}^{-0,3t} - 4\text{e}^{-0,4t}\]
		
\end{enumerate}

\medskip 

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $v$ définie par tout réel $t \geqslant 0$ par

\[ v(t) = 4\text{e}^{-0,1t} - 12\text{e}^{-0,2t} +12\text{e}^{-0,3t} - 4\text{e}^{-0,4t}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la dérivée $v'$ de $v$. 
		\item  Vérifier que la dérivée de $v$ peut s'écrire sous la forme :

\[ v'(t) = 0, 4\text{e}^{-0,1t} \left(4\text{e}^{-0,1t} - 1\right)\left(\text{e}^{-0,1t} - 1\right)^2.\]

 	\end{enumerate}
\item	Étudier le signe de $v'(t)$ en fonction de $t$. En déduire le tableau de variations de la fonction $v$  sur l'intervalle [0 ~;~75].
\item	Représenter graphiquement la fonction $v~:~ t \longmapsto  v(t)$ pour $t \in [0~;~75]$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques, 1~mm sur l'axe des abscisses (1~cm représente donc 10~minutes) et 20~cm sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Partie I : plan d'expériences}

\medskip

Pour établir un modèle du rendement en trichlorométhane, on réalise un plan factoriel d'expériences complet portant sur deux facteurs $X_{1}$ et $X_{2}$ qui représentent la température et la durée du passage des gaz dans le réacteur. Ce plan d'expériences est construit selon l'algorithme de Yates.

On suppose que le rendement $y$ du phénomène est modélisé par une expression de la forme :

\[y =a_{0} + a_{1}X_{1}  + a_{2}X_{2}  + a_{12}X_{1}X_{2} + \epsilon\]

où $a_{0},\:a_{1},\:a_{2},\:a_{12}$ sont des réels et $\epsilon$ une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne $0$ et
d'écart type $\sigma$, où $\sigma$ est un réel supérieur à zéro. 

On attribue les niveaux suivants aux facteurs :
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
niveau	&$-1$&1\\ \hline
durée $X_{1}$&	10 minutes&	20 minutes\\ \hline
température $X_{2}$&	50\degres C &	100\degres C\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
Les quatre expériences réalisées ont donné les résultats suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
expérience	&	1		&2			&3				&4\\ \hline
durée		&10 minutes	&20 minutes	&10 minutes		&20 minutes\\ \hline
température	&50\degres C&50\degres C&100\degres C	&100 \degres C\\ \hline
rendement	&0,05		&0,10		&0,15			&0,25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir la matrice complète des interactions.
\item Calculer les estimations ponctuelles des effets.
\item Donner l'expression du modèle.
\item Interprétation
	\begin{enumerate}
		\item  Que représente le coefficient $a_{0}$ par rapport à ces expériences ?
		\item  En interprétant des effets des deux facteurs, quelles sont les conditions optimales pour la fabrication du trichlorométhane ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II : étude statistique}

\medskip

\emph{Les valeurs approchées seront arrondies au millième le plus proche.}

\medskip

On suppose que l'estimation ponctuelle de $a_{1}$ est $0,038$. On considère que l'effet du facteur $X_{1}$, est estimé par une variable aléatoire qui suit une loi normale d'écart type $\sigma_{\text{e}} = 0,005$.

Calculer un intervalle de confiance de l'effet du facteur $X_{1}$ au seuil de risque 5\,\%.
\end{document}