\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-solides3d} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Chimiste}} \rfoot{\small{Session 2003}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2003 - Chimiste}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 13 points} \medskip \emph{Étude de la cinétique d'une réaction en chaîne.} \medskip On considère un réacteur dans lequel on fait réagir du $CH_{4}$ dans du $Cl_{2}$ en excès. Dans ce cas, on peut modéliser les réactions par des cinétiques d'ordre 1 : \[CH_{4} \longrightarrow CH_{3}Cl \longrightarrow CH_{2} Cl_{2} \longrightarrow CHCl_{3} \longrightarrow CCl_{4}\] On note $a = \left[CH_{4}\right]_{0}$, la concentration initiale en $CH_{4}$ et $k$ une constante réelle non nulle exprimée en min$^{-1}$. Le temps $t$ est exprimé en minutes. \medskip Les valeurs approchées seront arrondies au centième le plus proche. \medskip Les trois parties A, B et C sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A} \medskip $\left[CH_{4}\right]_{t}$, étant la concentration en $CH_{4}$ à l'instant $t$, on pose $x(t) = \dfrac{\left[CH_{4}\right]_{t}}{a}$. À l'instant $t = 0$, la concentration en $CH_{4}$ est égale à $a$ et donc $x(0) = 1$. Les lois cinétiques donnent l'équation différentielle suivante : \[\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} = - 4kx \quad (1)\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la solution générale de l'équation différentielle (1). \item Déterminer la solution de l'équation (1) qui vérifie la condition initiale $x(0) = 1$. $\left[CH_{3}Cl\right]_{i}$ étant la concentration en $CH_{3}Cl$ à l'instant $t$, on pose \\$y(t) = \dfrac{\left[CH_{3}\right]_{t}}{a}$. À l'instant $t = 0$, la concentration en $CH_{3}Cl$ est nulle, donc $y (0) = 0$. Les lois cinétiques donnent l'équation différentielle suivante : $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} = -3ky+ 4k\text{e}^{-4kt}$ qui s'écrit sous la forme : \[y' + 3ky = 4k\text{e}^{-4kt} \quad (2)\] \end{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle homogène associée : $y' + 3ky = 0$. \item Déterminer une solution particulière de l'équation (2) de la forme $t \longmapsto \lambda \text{e}^{-4kt}$ où $\lambda$ est une constante réelle. \item \begin{enumerate} \item Donner la solution générale de l'équation différentielle (2). \item Déterminer la solution de l'équation différentielle (2) qui vérifie la condition initiale $y(0) = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip $\left[CH_{2}Cl_{2}\right]_{t}$ et $\left[CHCl_{3}\right]_{t}$ étant les concentrations en $CH_{2}Cl_{2}$ et $CHCl_{3}$ à l'instant $t$, on pose $z(t) = \dfrac{\left[CH_{2}Cl_{2}\right]_{t}}{a}$ et $v(t) = \dfrac{\left[CHCl_{3}\right]_{t}}{a}$. À l'instant $t = 0$, ces concentrations sont nulles et donc $z(0) = v(0) = 0$. Les lois cinétiques donnent les équations différentielles suivantes \[\left\{\begin{array}{l c l} \dfrac{\text{d}z}{\text{d}t}&=&- 2kz + 12k \left(\text{e}^{3kt} - \text{e}^{-4kt}\right) \quad (3)\\ \dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}&=&- kv + 2kz \quad (4)\\ \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $v'(0) = 0$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation (4) s'écrit sous la forme : $z(t) = \dfrac{1}{2k}[v'(t) + kv(t)]$. \item En dérivant cette expression de $z$, exprimer $z' = \dfrac{\text{d}z}{\text{d}t}$ en fonction de $v'= \dfrac{\text{d}v}{\text{d}t}$ et de $v'' = \dfrac{\text{d}^2v}{\text{d}t^2}$. \item En reportant les expressions de $z$ et de $\dfrac{\text{d}z}{\text{d}t}$ dans l'équation (3), montrer que $v$ vérifie l'équation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants $\left(E_{1}\right)$ suivante : \[v"+ 3kv' + 2k^2v = 24k^2 \left(\text{e}^{-3kt} - \text{e}^{-4kt}\right) \quad \left(E_{1}\right)\] \end{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle homogène $\left(E_{0}\right)$ associée : $v''+ 3kv'+ 2k^2v = 0$. \item Déterminer une solution particulière de l'équation $\left(E_{1}\right)$ de la forme $t \longmapsto \alpha\text{e}^{-3kt} + \beta \text{e}^{-4kt}$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles. \item Donner la solution générale de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$. \medskip \textbf{On suppose maintenant que}~\boldmath $k = 0,1~\text{min}^{-1}$ \unboldmath. \item Montrer que la solution $v$ qui vérifie les conditions initiales $v(0) = 0$ et $v'(0) = 0$ est définie par : \[v(t) = 4\text{e}^{-0,1t} - 12\text{e}^{-0,2t} +12\text{e}^{-0,3t} - 4\text{e}^{-0,4t}\] \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On considère la fonction $v$ définie par tout réel $t \geqslant 0$ par \[ v(t) = 4\text{e}^{-0,1t} - 12\text{e}^{-0,2t} +12\text{e}^{-0,3t} - 4\text{e}^{-0,4t}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée $v'$ de $v$. \item Vérifier que la dérivée de $v$ peut s'écrire sous la forme : \[ v'(t) = 0, 4\text{e}^{-0,1t} \left(4\text{e}^{-0,1t} - 1\right)\left(\text{e}^{-0,1t} - 1\right)^2.\] \end{enumerate} \item Étudier le signe de $v'(t)$ en fonction de $t$. En déduire le tableau de variations de la fonction $v$ sur l'intervalle [0 ~;~75]. \item Représenter graphiquement la fonction $v~:~ t \longmapsto v(t)$ pour $t \in [0~;~75]$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques, 1~mm sur l'axe des abscisses (1~cm représente donc 10~minutes) et 20~cm sur l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 7 points} \medskip \textbf{Partie I : plan d'expériences} \medskip Pour établir un modèle du rendement en trichlorométhane, on réalise un plan factoriel d'expériences complet portant sur deux facteurs $X_{1}$ et $X_{2}$ qui représentent la température et la durée du passage des gaz dans le réacteur. Ce plan d'expériences est construit selon l'algorithme de Yates. On suppose que le rendement $y$ du phénomène est modélisé par une expression de la forme : \[y =a_{0} + a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2} + a_{12}X_{1}X_{2} + \epsilon\] où $a_{0},\:a_{1},\:a_{2},\:a_{12}$ sont des réels et $\epsilon$ une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne $0$ et d'écart type $\sigma$, où $\sigma$ est un réel supérieur à zéro. On attribue les niveaux suivants aux facteurs : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline niveau &$-1$&1\\ \hline durée $X_{1}$& 10 minutes& 20 minutes\\ \hline température $X_{2}$& 50\degres C & 100\degres C\\ \hline \end{tabularx} \medskip Les quatre expériences réalisées ont donné les résultats suivants : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline expérience & 1 &2 &3 &4\\ \hline durée &10 minutes &20 minutes &10 minutes &20 minutes\\ \hline température &50\degres C&50\degres C&100\degres C &100 \degres C\\ \hline rendement &0,05 &0,10 &0,15 &0,25\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Établir la matrice complète des interactions. \item Calculer les estimations ponctuelles des effets. \item Donner l'expression du modèle. \item Interprétation \begin{enumerate} \item Que représente le coefficient $a_{0}$ par rapport à ces expériences ? \item En interprétant des effets des deux facteurs, quelles sont les conditions optimales pour la fabrication du trichlorométhane ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II : étude statistique} \medskip \emph{Les valeurs approchées seront arrondies au millième le plus proche.} \medskip On suppose que l'estimation ponctuelle de $a_{1}$ est $0,038$. On considère que l'effet du facteur $X_{1}$, est estimé par une variable aléatoire qui suit une loi normale d'écart type $\sigma_{\text{e}} = 0,005$. Calculer un intervalle de confiance de l'effet du facteur $X_{1}$ au seuil de risque 5\,\%. \end{document}