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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Chimiste}}
\rfoot{\small{Session 2002}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2002 - Chimiste}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Problème 1 \hfill 8 points}

\medskip

Lorsqu'un fil conducteur est parcouru par un courant électrique d'intensité constante, celui-ci s'échauffe par effet Joule et sa température varie en fonction du temps. Désignons par $\theta(t)$ la
température du conducteur exprimée en degrés Celsius à l'instant $t$ exprimé en secondes.

À l'instant de la mise sous tension, choisi comme instant origine $(t = 0 )$, la température du conducteur est celle du milieu ambiant : $\theta(0)  = 18$ (condition initiale).

Dans les conditions de l'expérience, le bilan énergétique se traduit par l'équation différentielle
	\[(\text{E})\quad  \theta'(t) + 10k\theta(t) = 2,~ t \geqslant 0\]
 dans laquelle $k$ est une constante qui dépend du conducteur et du milieu ambiant.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On suppose, dans cette partie, que le conducteur est parfaitement isolé, c'est-à-dire que $k = 0$.

\begin{enumerate}
\item Écrire l'équation différentielle correspondant à $k = 0$  puis résoudre cette équation différentielle.

\item Représenter graphiquement les variations de $\theta$ dans un repère orthogonal d'unité graphiques : 1~cm en abscisse pour 2~secondes et 1~cm en ordonnée pour 2 \degres C.

\item Calculer le temps nécessaire pour que la température du conducteur atteigne 30 \degres C.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose, dans cette partie, que le conducteur n'est pas thermiquement isolé et que $k = 5 \times 10^{-3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la température du conducteur s'exprime par : $\theta(t ) =  40 - 22 \text{e}^{-0,05 t}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la température stationnaire du conducteur : $\theta_{\text{e}} = \displaystyle\lim_{t \to + \infty} \theta(t)$.
		
Donner l'interprétation graphique de ce résultat.
		\item  Déterminer le développement limité de $\theta$ au voisinage de $t = 0$, à l'ordre 2. En déduire une équation de la tangente à la courbe représentative de $\theta$ en son point d'abscisse $0$ et préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente, au voisinage de $t = 0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de $\theta$ en fonction de $t$.
		\item Construire la courbe représentative de $\theta$ sur le même graphique que dans la partie A.
		\item Calculer la température du conducteur à l'instant $t =  20$.
		\item Calculer le temps nécessaire pour que la température du conducteur atteigne 39,99 \degres C.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème 2\hfill 12 points}

\medskip

Un laboratoire de chimie est chargé de conditionner des flacons d'eau de toilette destinés à une parfumerie. On définit une variable aléatoire $X$ associant à chaque flacon le volume de son contenu exprimé en cm$^3$. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ (inconnue) et d'écart type $\sigma = 0,036$.

\medskip

\textbf{Première partie}
 
\medskip

Dans cette partie, on prend pour $\mu$ la valeur annoncée par le fournisseur : $\mu =  43,041$. Le cahier des charges indique que le flacon est conforme lorsque le volume de son contenu appartient à l'intervalle [42,970~;~43,130].

On choisit un flacon au hasard dans la production.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité pour qu'il soit conforme.
\item  Trouver un intervalle centré en $\mu$ dans lequel le volume a 85\,\% de chances de se trouver.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

À l'occasion d'une commande, le parfumeur reçoit du laboratoire un lot de flacons. Il envisage d'effectuer un test de conformité de la moyenne $\mu$ de la production, avec la valeur $m = 43,041$ annoncée par le fournisseur. Pour réaliser ce test d'hypothèse bilatéral, il effectue un prélèvement aléatoire, assimilé à un prélèvement avec remise de 75~flacons pris dans le lot reçu.

\medskip

Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :\\
 
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Volume&142,930 ; 42,970[& [42,970 ; 43,010[& [43,010 ; 43,050[ &[43,050 ; 43,090[&[43,090 ; 43,130]\\ \hline
Effectif&\normalsize	2&\normalsize	7&\normalsize	39&\normalsize	19 &\normalsize	8\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Calcul de la moyenne}

\medskip

Calculer la moyenne de cet échantillon (arrondie à $10^{-3}$ près) en faisant l'hypothèse que les valeurs observées sont respectivement celle du centre de chaque classe.

\item   \textbf{Construction du test}

On oppose l'hypothèse nulle $H_{0}~:~ \mu = m$ à l'hypothèse alternative $H_{1}~ :~ \mu \neq m$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la moyenne d'échantillonnage $\overline{X}$ ? En préciser les paramètres.
		\item 	En se plaçant sous l'hypothèse $H_{0}$, déterminer la valeur arrondie à $10^{-3}$ près du réel $h$ tel que : $P(\mu - h \leqslant \overline{X} \leqslant p + h) = 0,95$.
		\item 	En déduire l'intervalle d'acceptation de l'hypothèse H0 au seuil de risque de 5\,\%.
		\item 	Énoncer la règle de décision du test.
	\end{enumerate}
\item   \textbf{Utilisation du test}

Peut-on affirmer, au seuil de risque de 5\,\%, que la valeur $m$ annoncée pour $\mu$ est correcte ?
\end{enumerate}
\end{document}