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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Chimiste}}
\rfoot{\small{Session 2001}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2001 - Chimiste}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des flacons destinés à contenir une substance particulière. Un flacon est dit conforme s'il vérifie un ensemble de critères définis par l'entreprise. On appelle $p$ la proportion de flacons conformes dans l'ensemble de la production.

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

Un processus de contrôle de la conformité des flacons a été mis au point par l'entreprise. On s'intéresse dans cette partie aux risques d'erreurs de ce contrôle et on suppose que la proportion $p$ de flacons conformes est égale à $0,8$.\\
On prélève un flacon au hasard dans l'ensemble de la production. On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] C l'évènement : \og le flacon prélevé est conforme \fg{} ; on a donc P(C) $= 0,8$.
\item[] A l'évènement : \og le flacon prélevé est accepté par le contrôle \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Une étude préliminaire a permis d'estimer les risques d'erreurs de ce contrôle :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize} 
\item la probabilité de refuser un flacon sachant qu'il est conforme est de $0,05$ on a donc P$\left(\overline{\text{A}}/\text{C}\right) = 0,05$.
\item	la probabilité d'accepter un flacon sachant qu'il n'est pas conforme est de $0,1$ on a donc P$\left(\text{A}/\overline{\text{C}}\right) = 0,1$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la probabilité qu'un flacon soit accepté sachant qu'il est conforme.
		\item  Déterminer la probabilité qu'un flacon soit accepté par le contrôle.
		\item  Déterminer la probabilité qu'un flacon ne soit pas conforme sachant qu'il a été accepté par le contrôle. (Arrondir le résultat au centième).
 	\end{enumerate}
\item On admet que la probabilité de choisir un flacon non conforme parmi ceux qui ont été acceptés par le contrôle est égale à $0,03$.

On prélève au hasard et avec remise des échantillons de 100~flacons dans l'ensemble des flacons qui ont été acceptés par le contrôle.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de ce type, associe le nombre de flacons non conformes de cet échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la loi suivie par $X$ ?
		\item  On admet que la loi de $X$ peut être approchée par une loi de Poisson.\\
Quel est le paramètre de cette loi de Poisson ?

Calculer, à l'aide de cette loi de Poisson, une valeur approchée de la probabilité de l'évènement $(X> 5)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Seconde partie}

\medskip

On se propose de construire et d'utiliser un test unilatéral pour valider ou refuser, au seuil de risque 5\:\%, l'hypothèse selon laquelle la proportion $p$ de flacons conformes dans l'ensemble de la production, sur une période donnée, est égale à 0,8. (Hypothèse nulle H$_{0}$ : \og $p = 0,8$ \fg{} ; hypothèse alternative H$_{1}$ : \og $p < 0,8$ \fg).

Pour cela, on prélève au cours de cette période dans l'ensemble de la production des échantillons de 200~ flacons, au hasard et avec remise.

On appelle $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de ce type, associe la proportion de flacons conformes de cet échantillon. On admet que la loi de $F$ est une loi normale $\mathcal{N}(p~ ;~ \sigma)$.

\begin{enumerate}
\item  Sous l'hypothèse H$_{0}$ :
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer qu'une valeur approchée de $\sigma$ est $0,03$.
		\item  Déterminer le réel positif $h$ tel que P$(F \geqslant  0,8 - h) = 0,95$. (Arrondir le résultat au centième).
	\end{enumerate}
\item Énoncer la règle de décision relative à ce test de validité d'hypothèse.

\item Dans un échantillon de 200~flacons, on a trouvé 156~flacons conformes.

Au vu de cet échantillon, doit-on, au seuil de risque 5\:\%, accepter ou refuser l'hypothèse ?
\end{enumerate}
		
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
		
L'objet de cet exercice est l'étude du potentiel électrique dans un électrolyte.

On considère un électrolyte, le chlorure de sodium NaCl, mis en solution dans l'eau à la température de 25~\degres C et de concentration $10^{-2}$ mol.L$^{-1}$.

Un ion Na$^+$ étant choisi, on prend son centre comme origine de l'espace rapporté à un repère.

Cet ion crée, en tout point de l'atmosphère ionique qui l'entoure, un potentiel électrique $U$ fonction de la distance $x$ de ce point au centre de l'ion considéré.

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Expression de} \boldmath $U(x)$. \unboldmath

On admet que cette fonction $U$ de la variable réelle $x$, avec $x > 0$, est solution de l'équation différentielle 
\[(\text{E})~~ :\quad  x^2U'' + 2xU' = b^2x^2U,\]
où $b$ est une constante réelle strictement positive.
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout $x> 0$, on pose $Y(x) = xU(x)$.
		
Calculer $Y'(x)$ et $Y"(x)$.

On considère l'équation différentielle $(\text{E}_{1})~~ Y'' - b^2Y = 0$.

Démontrer que $Y$ est solution de (E$_{1}$) si et seulement si $U$ est solution de (E).
		\item  Résoudre l'équation différentielle (E$_{1}$).

En déduire, pour tout $x > 0$, l'égalité $(i)~~: U(x) = \dfrac{1}{x}\left(A\text{e}^{-bx} + B\text{e}^{bx}\right)$, où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Calcul de la constante \emph{B}}

Le potentiel étant nul à l'infini, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  U(x) = 0$.

Montrer, en utilisant l'égalité $(i)$, qu'alors $B = 0$. (On montrera que si $B$ était non nulle, alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} U(x)$ serait égale à $+ \infty$). On a donc, pour tout $x> 0,$

$ U(x) = \dfrac{A}{x}\text{e}^{-bx}$.

\item \textbf{Calcul de la constante \emph{A}}

	\begin{enumerate}
		\item  Soit $\alpha$ un nombre réel supérieur ou égal à 4.
		
		 À l'aide d'une intégration par parties, calculer, en fonction de $\alpha$, l'intégrale $I(\alpha) = \displaystyle\int_{4}^{\alpha} x\text{e}^x\:\text{d}x$.
		 
		  Déterminer la limite $I$ de $I(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$. 
		\item  L'expression de l'électroneutralité conduit à l'égalité $A \cdot I = k$, où $k$ est une constante réelle positive. Exprimer $A$ en fonction de $b$ et de $k$.
		
En déduire que, pour tout $x> 0,  U(x) = \dfrac{kb^2}{1 + 4b}\dfrac{1}{x}\text{e}^{-b(x - 4)}$.
		 	\end{enumerate}
\item \textbf{Tableau de variations de \emph{U}, pour des valeurs particulières de \emph{b} et de \emph{k}}

On considère que, pour tout $x > 0, U(x) = \dfrac{0,16}{x}	\text{e}^{- \nombre{0,0325}(x - 4)}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $U'(x)$ et étudier le sens de variations de $U$. 
		\item  Calculer la limite de $U$ en $0$. 
		\item  Donner le tableau de variations de $U$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}