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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Chimie}
\lfoot{\small{Chimiste}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Chimiste session 2007}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

Deux chaînes de production $C_{A}$ et $C_{B}$ d'un laboratoire pharmaceutique fabriquent, en très grande quantité, le comprimé d'un nouveau médicament dont la masse théorique de vente est de $900$~mg.

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note X$_{\text{A}}$ (respectivement X$_{\text{B}}$) la variable aléatoire qui, à un comprimé pris au hasard
dans la production de la chaîne C$_{\text{A}}$ (respectivement C$_{\text{B}}$), associe sa masse en mg.

On sait que X$_{\text{A}}$ (respectivement XB) suit la loi normale de paramètres $\left(m_{\text{A}}~;~\sigma_{\text{A}}\right)$ (respectivement
$\left(m_{\text{B}}~;~\sigma_{\text{B}}\right)$.

Un comprimé est jugé conforme au cahier des charges si sa masse est
comprise entre $880$~mg et $920$~mg.
	\begin{enumerate}
		\item  On donne $m_{\text{A}} = 896$~mg et $\sigma_{\text{A}} = 10$~mg. Calculer, à $10^{-2}$ près, la probabilité qu'un comprimé pris au hasard dans C$_{\text{A}}$  soit conforme.
		\item  On donne $m_{\text{B}} = = 900$~mg. La probabilité qu'un comprimé fabriqué par C$_{\text{B}}$ soit conforme est $0,97$. Déterminer, à l'unité près, l'écart type $\sigma_{\text{B}}$.
 	\end{enumerate}
\item Dans la production totale, 40\,\% des comprimés proviennent de la chaîne C$_{\text{A}}$ et 60\,\%
de la chaîne C$_{\text{B}}$. La chaîne C$_{\text{A}}$ produit 4\,\% de comprimés non conformes et la chaîne C$_{\text{B}}$ en produit 3\,\%.

On prélève au hasard un comprimé dans la production du laboratoire.

On note

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[] A l'évènement \og Le comprimé a été fabriqué par la chaîne C$_{\text{A}}$ \fg, 
\item[] B l'évènement \og Le comprimé a été fabriqué par la chaîne C$_{\text{B}}$ \fg,
\item[] C l'évènement \og Le comprimé est conforme \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item  À partir de l'énoncé, déterminer les probabilités des évènements A et B ainsi que les probabilités conditionnelles de C sachant A et de C sachant B que l'on notera respectivement $P_{\text{A}}$(C) et $P_{B\text{B}}$(C).
		\item Calculer alors la probabilité $P$(C) de l'évènement C.
		\item On prélève un comprimé au hasard dans la production et on constate qu'il est conforme.
		
Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'il provienne de la chaîne C$_{\text{A}}$.
	 \end{enumerate}
\item Le contrôleur qualité n'étant pas satisfait de la production de la chaîne C$_{\text{A}}$, il décide de la faire régler. Après ce réglage, on teste l'hypothèse nulle H$_{0} : m_{\text{A}} = 900$~mg, contre
l'hypothèse alternative H$_{1}  :  m_{\text{A}}\neq 900$~mg, au seuil de risque $5$\:\%. On désigne par $\overline{X_{\text{A}}}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon non exhaustif de taille 100, associe sa masse moyenne en mg. Sous H$_{0}$, on admet que $\overline{X_{\text{A}}}$ suit la loi normale de paramètres (900 ; 1).
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le nombre réel positif $h$ tel que : $P(900 - h \leqslant  \overline{X_{\text{A}}} \leqslant  900 + h) = 0,95$.
		\item  Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
		\item  Un tirage de 100~comprimés dans la production de la chaîne C$_{\text{A}}$ est effectué. La masse
moyenne obtenue est $\overline{x} = 899$~mg. Appliquer le test.
 	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Étude de la cinétique de deux réactions successives du 1\up{er} ordre}

\medskip

On considère les réactions successives suivantes :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,1)
\rput(0,1){A}
\psline{->}(0.5,1)(2.8,1)
\uput[d](1.65,1){$k_{1}$} \rput(3,1){B}
\psline{->}(3.2,1)(5.8,1) 
\uput[d](4.5,1){$k_{1}$} \rput(6,1){C}
\end{pspicture}
\end{center}

où $k_{1}$, et $k_{2}$ désignent des nombres réels strictement positifs.

On désigne par $a - x,~ y$ et $z$ les concentrations en mol.L$^{-1}$ à l'instant $t$ des produits A, B et C ($t$ est exprimé en minutes), $a$ désignant la concentration à l'instant $t = 0$ du produit A, seul présent au début de la réaction.

$x,~y$ et $z$ sont des fonctions de $t$ définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

D'après la conservation de la matière on a : $x = y + z$. Les lois cinétiques donnent :

\[\left\{\begin{array}{l c l r}
\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}&=& k_{1}(a - x) &(1)\\
\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}&=& k_{1}(a - x) - k_{2}y& (2)\\
z& =& x - y& (3)\\
\end{array}\right.\]

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'équation (1) s'écrit aussi : $x' + k_{1}x = k_{1}a \quad  (E_{1})$
avec $k_{1}$ nombre réel positif non nul.
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation homogène $(E_{0}) : x' + k_{1}x = 0$.
		\item  Déterminer une solution particulière $x_{p}(t)$ de $(E_{1})$ sous la forme d'une fonction constante.
		\item  En déduire la solution générale de $(E_{1})$.
		\item  Sachant que la solution $x$ de $(E_{1})$ cherchée vérifie $x(0) = 0$, montrer que :
		
\[x(t) = a\left(1 - \text{e}^{-k_{1}t}\right)\]

\end{enumerate}
\item On suppose, dans cette question, que $k_{1}$ et $k_{2}$ sont des nombres réels positifs distincts.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'équation (2) équivaut à $(E_{2})$ :
\[y' + k_{2}y = k_{1}a\text{e}^{- k_{1}t}\]
		\item  Résoudre l'équation homogène $(E'_{0}) ~: ~y' + k_{2}y = 0$.
		\item  Déterminer une solution particulière $y_{p}(t)$ de $(E_{2})$ sous la forme \\$y_{p}(t) = \lambda \text{e}^{-k_{1}t}$ où $\lambda$ est une constante réelle à déterminer.
		\item  En déduire la solution générale de $(E_{2})$.
		\item  Sachant que $y(0) = 0$, montrer que :
$y(t) = \dfrac{ak_{1}}{k_{2} - k_{1}}\left(\text{e}^{-k_{1}t} - \text{e}^{-k_{2}t}\right)$.
 	\end{enumerate}
\item Donner l'expression de $z(t)$.
\end{enumerate} 
 
\medskip

\textbf{Partie B : Étude d'un exemple}

\medskip

Cas de la réduction d'un sel mercurique :

\[Hg^{2+} \longmapsto  Hg^+ \longmapsto Hg\]

(en présence de $H_{2}$ sous pression constante),  avec $a = 10^{-3}$~ mol.L$^{-1},~k_{1} = \nombre{0,0283}$ min$^{-1}$
et $k_{2} = \nombre{0,0033}$~min$ ^{-1}$.
\begin{enumerate}
\item  Vérifier que :
$z(t) = 10^{-3}\left(1 + 0,132\text{e}^{-\nombre{0,0283}t} - 1,132\text{e}^{-\nombre{0,0033}t}\right)$.
\item  Calculer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} z(t)$.
\item  Déterminer la dérivée de la fonction $z$.
\item  Montrer que, pour tout nombre réel $t$ strictement positif : $\text{e}^{-\nombre{0,0283}t}<  \text{e}^{-\nombre{0,0033}t}$.
\item  En déduire le signe de $z'(t)$ et le sens de variation de $z$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\end{document}