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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Conception de produits industriels}}
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\thispagestyle{empty}
\rfoot{\small{15 mai 2012}}
\pagestyle{fancy}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Conception de produits industriels 15 mai  2012}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm, on considère les courbes de Bézier $C_{1}$ définie par les 3 points de définition $P_{0}, P_{1}$ et $P_{2}$ avec $P_{0}(0~;~0), P_{1}(4~;~4)$ et $P_{2}(8~;~0)$ et $C_{2}$ définie par les  3 points de définition $P_{3}, P_{4}$ et $P_{5}$ avec $P_{3}(4~;~0), P_{4}(8~;~4)$ et $P_{5}(12~;~0)$ (voir annexe 1).
 
On rappelle que la courbe de Bézier $C$ définie par 3 points de définition $P_{0},\: P_{1}$ et $P_{2}$ est  l'ensemble des points $M$ tels que $\vect{\text{O}M(t)} = \displaystyle\sum_{i=0}^{i=2}B_{i,~2}\vect{\text{O}P_{i}}, \quad t \in  [0~;~1]$  où : 

\[B_{0,~2}(t) = (1 - t)^2, \quad B_{1,~2}(t) = 2t(1 - t), \quad B_{2,~2}(t) = t^2.\]

\begin{enumerate}
\item Utiliser la méthode barycentrique pour construire avec soin, en laissant les traits de construction, le point $M_{1}\left(\dfrac{1}{3}\right)$ point de $C_{1}$ de paramètre $t = \dfrac{1}{3}$ sur le graphique fourni en \textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}. 
 \item Démontrer que, pour $t \in  [0~;~1]$, un système d'équations paramétriques de $C_{1}$ est : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x_{1}(t) &=& 8t\\ 
y_{1}(t) &=& 8t - 8t^2
\end{array}\right.\]
 
\item Étudier les variations de $x_{1}$ et $y_{1}$ sur [0~;~1] et rassembler les résultats dans un tableau unique. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de votre calculatrice, compléter le tableau de valeurs situé en annexe 1, à rendre avec la copie. 
		\item Compléter le tracé de $C_{1}$ sur le graphique fourni en annexe 1, à rendre avec la copie.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}
\medskip
		 
Pour la suite de l'exercice, on admet que pour $t \in  [0~;~1]$, un système d'équations paramétriques de $C_{2}$ est :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x_{2}(t) &=& 4 + 8t\\ 
y_{2}(t) &=& 8t - 8t^2
\end{array}\right.\] 

 On note I le point d'intersection de $C_{1}$ et $C_{2}$, de coordonnées $\left(6~;~\dfrac{3}{2}\right)$. 

\begin{enumerate}
\item[\textbf{5.}]
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point I sur le graphique. Déterminer par le calcul le paramètre correspondant à I sur $C_{1}$. 
		\item On considère maintenant $C_{2}$. Déterminer par le calcul le paramètre correspondant à I sur $C_{2}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la courbe $C_{1}$ de la partie A dont une représentation paramétrique est  		. 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 8t\\ 
y&=& 8t - 8t^2
\end{array}\right.\]

pour $t$ appartenant à [0~;~1]. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $y_{1}(t) = x_{1}(t) - \dfrac{1}{8}\left(x_{1}(t)\right)^2$. 
		\item L'arc $C_{1}$ est-il un arc de parabole ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item On pose $f(x) = x - \dfrac{1}{8}x^2$.  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $J = \displaystyle\int_{6}^8  f(x)\:\text{d}x$. Calculer la valeur exacte de $J$.
		\item Interpréter $J$ à l'aide de l'aire d'une partie de plan à préciser
		\item En déduire, en cm$^2$ l'aire du domaine hachuré sur l'\textbf{annexe 1} (on pourra utiliser la symétrie de $C_{1}$ et $C_{2}$ par rapport à la droite d'équation $x = 6$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 3 points}

\medskip

Un mobile $M$ a pour trajectoire, entre les instants $t = 0$ et $t = 1$, un arc $C$ dont une représentation paramétrique dans un repère orthonormal est

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t)&=& 8t\\ 
y(t)&=& 8t - 8t^2
\end{array}\right.\] 

On note $\vect{V(t)}$ le vecteur vitesse de $M$ à l'instant $t$, c'est-à-dire le vecteur $\vect{V(t)}$ de coordonnées $\left(x^{\prime}(t),~y^{\prime}(t)\right)$ où $x^{\prime}$ et $x^{\prime}$ sont les fonctions dérivées de $x$ et de $y$ sur l'intervalle [0~;~1]. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\vect{V(t)}\begin{pmatrix}8\\8 - 16t \end{pmatrix}$. 
		\item Montrer que $\left\|\vect{V(t)}  \right\|^2 = 128 \times  \left(2t^2 - 2t + 1\right)$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par $f(t) = 128 \times \left(2t^2 - 2t + 1\right)$. 

Établir son tableau de variation, 
\item Déterminer le minimum de $f$ sur [0~;~1] et la valeur de $t$ correspondante. 
\item En déduire à quel instant $t$ la vitesse du mobile, c'est-à-dire $\left\|\vect{V(t)}  \right\|$, est minimale et déterminer cette vitesse minimale. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

La propulsion d'une automobile est assurée par des systèmes indépendants formés chacun d'un ressort hélicoïdal et d'un amortisseur à piston à huile montés entre l'arbre de roue et le châssis. 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(10,5.5)
\psline(0,0)(10,0)
\pscircle(4,1.75){1.75}
\psline(4.6,3.2)(4.6,1.7)(4.1,1.7)(4.3,2)(3.9,2.2)(4.3,2.5)(3.9,2.9)(4.3,3.1)(3.9,3.4)(4.3,3.7)(3.9,4)(4.3,4.3)(4.1,4.6)(4.6,4.6)(4.6,3.5)
\pspolygon(4.4,3.8)(4.4,3.2)(4.9,3.2)(4.9,3.8)(4.9,3.5)(4.4,3.5)
\psline(0.6,1.2)(2.1,1.2) \psline(6.05,1.2)(8.2,1.2)
\rput(4.2,5){Liaison}\rput(5.2,4.7){Chassis}\rput(4,1.4){Axe}\rput(4.5,1.1){Roue}
\psline{<->}(7,0)(7,1.2)\psline{->}(7.7,2.05)(7.7,1.2)
\rput(8,0.6){Garde au sol}\rput(7,2.05){Chassis}\rput(1.3,2.05){Chassis}
\rput(1.8,0.3){Sol}
\end{pspicture}
\end{center}

Lors d'un essai dynamique à vide, le châssis est abaissé puis libéré sans vitesse initiale:. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Sous les conditions initiales de l'essai, la hauteur du châssis par rapport au sol, appelée garde au sol, est modélisée  par une fonction $f$ de la variable réelle $t$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ dont la courbe représentative $C_{f}$ est donnée en annexe 2. La distance du châssis au sol est donnée en millimètres, le temps en secondes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique, déterminer les conditions initiales $f(0)$ et $f^{\prime}(0)$. 
\item On admet que la fonction $f$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ s' exprime par 

\[f(t) = (-150 \cos(16t) - 112,5 \sin (16t))\text{e}^{-12t} + 250\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $t \longmapsto \text{e}^{-12t}$ est : $\text{e}^{-12t} = 1 -  12t + 72t^2 + t^2 \epsilon(t)$ avec 
		$\displaystyle\lim_{t \to 0}  = 0$. 
		\item On admet les développements limités d'ordre 2, au voisinage de $0$, suivants: 

$\sin(16t) = 16t + t^2 \epsilon(t)$ avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \epsilon(t) = 0$ 

$\cos(16t) = 1 - 128t^2 + t^2 \epsilon(t)$ avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \epsilon(t) = 0$ 

Montrer que le développement limité, d'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $f$ est: 

$f(t) = 1OO + \np{30000}t2 + t^2 \epsilon(t)$ avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \epsilon(t) = 0$ 
		\item En déduire une équation de  la tangente à la courbe représentative $C$, au point 
d'abscisse $0$. 
		\item Retrouver les conditions initiales de la question 1.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Pour le confort des passagers, on souhaite choisir un amortisseur permettant un retour à la position d'équilibre le plus bas possible sans oscillation.
 
On sélectionne un amortisseur dont la distance $y(t)$ du châssis par rapport au sol exprimée en millimètres, vérifie l'équation différentielle : 

\[(F)\:\::\qquad  y^{\prime\prime} + 40y^{\prime} + 400 y = \np{100000}\]
 
où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, $y^{\prime}$ sa fonction dérivée, $y^{\prime\prime}$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les solutions de l'équation différentielle sans second membre 

\[\left(F_{0}\right)\:\::\qquad  y^{\prime\prime} - 40 y^{\prime} + 400y = 0.\]
 
\item Montrer que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par $g(t) = 250$ est une solution de $(F)$. 
\item En déduire l'ensemble des solutions de $(F)$. 
\item Déterminer la solution $h$ de $(F)$ vérifiant les conditions initiales $h(0) = 100$ et $h^{\prime}(0) = 0$. 
\item On considère la fonction $h$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par

\[h(t) = (- \np{3000}t - 150)\text{e}^{- 20t} + 250.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel de $[0~;~ + \infty[$, $h^{\prime}(t) = \np{60000}t\text{e}^{- 20t}$. 
		\item Étudier les variations de $h$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs sur l'\textbf{annexe 2, à rendre avec la copie} (les valeurs seront arrondies au dixième). 
		\item Construire la courbe représentative $\Gamma$ de $h$ sur le même graphique que $\mathcal{C}_{f}$ sur l'\textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}.
		
L'objectif est-il atteint ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 1 : Partie A question 4. a.}\end{flushleft}

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&0&0,2&0,4&0,6&0,75&0,8&0,9&1\\ \hline
$x_{1}(t)$&&&&&&&&\\ \hline
$y_{1}(t)$&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\vspace{2cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Figure à compléter (Partie A questions 1. et 4. b.)}\end{flushleft} 





\bigskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(14,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(14,6)
\def\arc{\parametricplot{0}{0.25}{8 t mul 4 add 8 t mul t dup mul 8 mul sub}
\parametricplot{0}{0.25}{8 8 t mul sub  8 t mul t dup mul 8 mul sub}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1](0,-2)(14,6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,0)(4,0)(8,0)(12,0)(4,4)(8,4)
\uput[ur](0,0){$P_{0}$}\uput[ul](4,4){$P_{1}$}\uput[ur](8,0){$P_{2}$}
\uput[ul](4,0){$P_{3}$}\uput[ur](8,4){$P_{4}$}\uput[ur](12,0){$P_{5}$}
\parametricplot{0}{1}{8 t mul 4 add 8 t mul t dup mul 8 mul sub}
\parametricplot[linecolor=blue]{0}{0.25}{8 8 t mul sub  8 t mul t dup mul 8 mul sub}
\pscustom[fillstyle=vlines, linestyle=none]{\arc \psline(8,0)(4,0)} 
\arc \psline(8,0)(4,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 3 : Partie A représentation graphique de la fonction \boldmath$f$ \unboldmath}\end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=14cm,yunit=0.014cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-50)(0.8,400)
\multido{\n=0.00+0.025}{33}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,400)}
\multido{\n=0+25}{17}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(0.8,\n)}
\psline{<->}(-0.05,100)(0.05,100)\uput[d](0.7,250){$\mathcal{C}_{f}$}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=50,comma=true]{->}(0,0)(-0.05,-25)(0.8,400)
\uput[u](0.7,0){$t$ en secondes}\uput[l](0,400){mm}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.8}{250 16 x mul 180 mul 3.141 div cos 150 mul 16 x mul 180 mul 3.141 div sin 112.5 mul add 2.71828 12 x mul neg exp mul sub}
%(-150 \cos(16t) - 112,5 \sin (16t))\text{e}^{-12t} + 250
\end{pspicture}

\vspace{2cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Partie B}

\textbf{Question 6. a.}
\end{flushleft}

\vspace{1cm}

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&0,05&0,1&0,15&0,20&0,3&0,35&0,4&0,45\\ \hline
$h(t)$&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}