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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{novembre 2004}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Comptabilité et gestion des organisations session 2004}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes}
\end{center}

\emph{A. Statistique}

\medskip

On a relevé le chiffre d'affaires annuel d'une société depuis 8 ans. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant, où $x_{i}$ est le rang de l'année et $y_{i}$ le chiffre d'affaires correspondant, en millions d'euros.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années&1996&1997&1998&1999&2000&2001&2002&2003\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$&	1&2&	3&4&	5&6&7&8\\ \hline
Chiffre d'affaires annuel : $y_{i}$&5&7,5&9,2&11&18,3&22,5&31&43\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On renonce à un ajustement affine pour ce nuage de points. On effectue le changement de variable $z_{i}= \ln y_{i}$ ($\ln$ désigne le logarithme népérien).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant dans lequel on fera figurer les valeurs approchée de $z_{i}$, arrondies à $10^{-3}$.
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année : $x_{i}$	&1	&2	&3	&4	&5&6&7&8\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$		&1,609&	&	&	&	&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $\left(x_{i}~;~ z_{i}\right)$. Arrondir $r$ à $10^{-3}$. Le résultat obtenu permet d'envisager un ajustement affine. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, l'équation de la droite de régression de $z$ en $x$ sous la forme $z = ax + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-3}$.
\item En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ de la forme $y = \alpha \text{e}^{kx}$ où $\alpha$ et $k$ sont des constantes à arrondir à $10^{-3}$.
\item  En déduire une estimation, arrondie à $10^{-1}$ du chiffre d'affaires de l'entreprise, en millions d'euros, pour l'année 2004.
\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\emph{B. Probabilités}
	
\begin{center}
\textbf{Les trois questions suivantes sont indépendantes} 
\end{center}

\medskip

Dans une usine de la société dont on a étudié le chiffre d'affaires dans la partie A., on fabrique des pièces métalliques d'un certain type pour du matériel de bureau.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans cette usine, les pièces métalliques de ce type sont fabriquées par deux unités de production notées \og unité 1 \fg{} et \og unité 2 \fg.

Un jour donné, la production de l'unité 1 est de 600~pièces et la production de l'unité 2 est de 900~pièces.
 
On admet que 0,7\,\% des pièces produites par l'unité 1 et 1,2\,\% des pièces produites par l'unité 2 ont un \og défaut de surface \fg.
  
On prélève une pièce au hasard dans l'ensemble des \nombre{1500}~pièces produites par cette usine pendant cette journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées.
   
On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og la pièce est produite par l'unité 1 \fg{} ; 
\item[] $B$ : \og la pièce est produite par l'unité 2 \fg{} ; 
\item[] $D$ : \og la pièce présente un défaut de surface \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $P_{A}(D) = P(D/A)$ la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.

	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $P(A),~P(B),~P_{A}(D)$ et $P_{B}(D)$ à l'aide des informations contenues dans l'énoncé. 
		\item  Calculer $P(A  \cap D)$ et $P(B \cap D)$. 
		\item  En déduire la probabilité qu'une pièce, prélevée au hasard dans la production totale d'une journée, présente un défaut de surface
	\end{enumerate}
\item  On prélève au hasard un lot de 50~pièces dans la production totale d'une journée.

Le nombre de pièces produites est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~pièces. On note $E$ l'évènement : \og une pièce, prélevée au hasard dans la production de la journée, a un défaut de surface \fg.

On admet que $P(E) = 0,01$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 50~pièces, associe le nombre de pièces présentant un défaut de surface parmi ces 50~pièces.
	\begin{enumerate}
		\item  Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.

		\item  Calculer $P(X\leqslant  1)$. Arrondir à $10^{-3}$.
 	\end{enumerate}
\item	On prélève une pièce au hasard dans un stock important.

On admet que la variable aléatoire $Y$ qui, à chaque pièce associe la mesure de sa \og dureté \fg, suit la loi normale de moyenne 55 et d'écart type $1,2$.

Une pièce est jugée acceptable si la mesure de sa dureté appartient à l'intervalle $[52,66~;~57,34]$.

Calculer la probabilité que la pièce soit acceptable. Arrondir à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\emph{A. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 
\[f(t) = 42 - 40\text{e}^{-0,3t}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités : 1~cm pour 1 sur l'axe des abscisses, et 1~cm pour 5 sur l'axe des ordonnées).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$.

		\item  Interpréter graphiquement le résultat obtenu au \textbf{a.}.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ lorsque $t$ varie dans $[0~;~+\infty[$.
		\item Établir le tableau de variations de $f$ dans $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant, dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{- 1}$.
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item Construire la courbe $\mathcal{C}$.
 	\end{enumerate}
\item	Résoudre graphiquement dans $[0~;~+\infty[$ l'inéquation $f(t) \geqslant  35$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. (On utilisera une valeur approchée à $10^{-1}$)

\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~5] est $V_{m} = \dfrac{46}{3} + \dfrac{80}{3}\text{e}^{-1,5}$.

		\item Donner la valeur approchée, arrondie à l'unité, de $V_{m}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\emph{B. Application économique}

\medskip

On suppose que $f(t)$ représente le coût total d'utilisation, en milliers d'euros, au bout de $t$ années, d'une des machines dont s'est équipée une entreprise. 
\begin{enumerate}
\item L'entreprise décide de revendre une machine dès que le coût d'utilisation dépasse \nombre{35000}~euros. Déduire du A. au bout de combien d'années l'entreprise devra revendre cette machine.
\item 	Donner, à l'aide d'une phrase, une interprétation économique du résultat obtenu au A. 5. b..
\end{enumerate}
\end{document}