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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\small Polynésie}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2008~\decofourright\\ Comptabilité et gestion des organisations Polynésie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\medskip

\textbf{A. Utilisation d'un ajustement affine}

\medskip

La Fédération Française de Franchise a publié le nombre de franchisés établis en France entre 2000 et 2005. Le tableau suivant, où $t_{i}$ désigne le rang de l'année, donne, en milliers, le nombre $y_{i}$ de ces franchisés, au premier janvier de chaque année.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année	&2000&2001&2002	&2003&	2004&	2005\\ \hline
Rang de l'année : $t_{i}$&	1&	2&	3&	4&	5&6 \\ \hline
Nombre de franchisés : $y_{i}$& 	30,63& 31,781& 33,26 &34,745& 	36,773&39,51\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On effectue le changement de variable : $x_{i} = t_{i}^2$. \\Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant :
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_{i} = t_{i}^2$&&&&&&\\ \hline
$y_{i}$ &30,63& 31,781& 33,26&	34,745&36,773& 	39,51\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique de variables $x$ et $y$. Arrondir à $10^{-2}$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, sous la forme $y= ax + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-3}$.
		\item  En déduire une expression de $y$ en fonction de $t$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la question précédente :
	\begin{enumerate}
		\item  Donner une estimation du nombre de franchisés installés en France au premier janvier 2008 ;
		\item  Estimer l'année au cours de laquelle, le nombre de franchisés installés en France dépassera, pour la première fois, les \np{60000}.
		 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Utilisation d'une suite géométrique}
 
\medskip
 
On peut constater qu'entre 2004 et 2005 le nombre de franchisés considéré dans la partie A a augmenté d'environ 8\:\%.

\begin{center} \textbf{Dans les questions qui suivent, on admet qu'à partir du premier janvier 2005, le nombre de franchisés augmente de 5\:\% par an.}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Le premier janvier 2005, il y avait \np{39510}~franchisés. Calculer le nombre de franchisés au premier janvier 2006.

\item  On note $u_{n}$ le nombre de franchisés au premier janvier de l'année $(2005 + n)$, où $n$ est un entier naturel. On a donc $u_{0} =  \np{39510}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le plus petit entier $p$ tel que $u_{p} > \np{60000}$.
		\item  L'affirmation suivante :
		
		« le nombre de franchisés dépassera \np{60000} pour la première fois au cours de l'année 2010 » est-elle vraie ou fausse ?\\
Donner la réponse sans justification.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [1 ;  10] par 
	\[f(x) = 8 \ln (16x - 10) + 7.\]
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur [1~;~10].
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de [1~;~10].
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ quand $x$ varie dans [1~;~10].
	\end{enumerate}
\item  Établir le tableau de variations de $f$ sur [1~;~10].

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-1}$.
		\item  Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthogonal.
		
		 On prendra pour unité 1~cm pour 1 sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 2 sur l'axe des ordonnées, la graduation commençant à $0$ sur l'axe des abscisses et à $20$ sur l'axe des ordonnées.
		\item  Résoudre graphiquement dans [1~;~10] l'équation $f(x) =35$. On fera apparaître sur le graphique les constructions utiles.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{D. Application des résultats de la partie C}
 
\medskip
 
On admet que le chiffre d'affaires, en millions d'euros, d'un ensemble d'entrepreneurs est donné, pour l'année $(2000 + n)$, par $f(n)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie C.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le chiffre d'affaires en millions d'euros, arrondi à $10^{-1}$, pour l'année 2008.

\item   En quelle année le chiffre d'affaires a-t-il dépassé $35$~millions d'euros ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

Dans une grande chaîne de magasins, on s'intéresse au fonctionnement d'un certain modèle de téléviseur.

\medskip

 \textbf{A. Loi binomiale}
 
\begin{center}\textbf{Dans cette partie les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-1}$ \unboldmath
\end{center}

 On considère un stock important de téléviseurs de ce modèle.
 
On note E l'évènement : « un téléviseur prélevé au hasard dans le stock est défectueux. » 

On suppose que $P(\text{E}) = 0,02$.

On prélève au hasard $100$~ téléviseurs dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $100$~téléviseurs.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de téléviseurs de ce prélèvement qui sont défectueux.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre téléviseurs défectueux.

\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins deux téléviseurs défectueux.
\end{enumerate}

\medskip

 \textbf{B. Loi normale}
 
\begin{center}
\textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir \`a}\boldmath  $10^{-2}$ \unboldmath
\end{center}

 Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque téléviseur de ce modèle prélevé au hasard dans le stock de la chaîne associe sa durée de fonctionnement sans panne, en années.
 
On admet que $Y$ suit la loi normale de moyenne $6$ et d'écart type $1$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $P(4 \leqslant Y \leqslant 8)$.

\item Un téléviseur est dit « amorti » si sa durée de fonctionnement sans panne est supérieure ou égale à 5 ans.\\
Calculer la probabilité qu'un téléviseur prélevé au hasard dans le stock soit amorti.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Probabilités conditionnelles}

\medskip

Les téléviseurs de ce modèle proviennent de deux fournisseurs notés « fournisseur 1~» et « fournisseur 2 ».

Le fournisseur 1 a fourni 60\:\% des téléviseurs d'un lot important et le fournisseur 2 a fourni le reste de ce lot.
 
Dans ce lot, 1\:\% des téléviseurs provenant du fournisseur 1 sont défectueux et 1,5\:\% des téléviseurs provenant du fournisseur 2 sont défectueux.

On prélève au hasard un téléviseur dans ce lot. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[] A : « le téléviseur prélevé provient du fournisseur 1 » ; 
\item[] B : « le téléviseur prélevé provient du fournisseur 2 » ; 
\item[] D : « le téléviseur prélevé est défectueux ».
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center} \textbf{Dans cette partie, on demande les valeurs exactes des probabilités.}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P(\text{A}),~ P(\text{B}), P_{\text{A}}(\text{D})$ et $P_{\text{B}}(\text{D})$.

(On rappelle que $P_{\text{A}}(\text{D}) = P(\text{D} /\text{A})$ est la probabilité de l'évènement D sachant que l'évènement A est réalisé.)

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les valeurs exactes des probabilités $P(\text{D} \cap \text{A})$ et $P(\text{D} \cap  \text{B}).$

		\item  Déduire de ce qui précède la probabilité que le téléviseur prélevé soit défectueux.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}