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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Polynésie Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2006~\decofourright\\ Comptabilité et gestion des organisations Polynésie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

On considère un produit dont le prix de la tonne est, en euros, noté $x$.

La demande, $d(x)$, est la quantité de ce produit, exprimée en tonnes, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix de $x$ euros la tonne.

L'offre, $o(x)$ est la quantité de ce produit, exprimée en tonnes, que les producteurs sont prêts à vendre au prix de $x$ euros la tonne.
  
On appelle prix d'équilibre de ce produit le prix pour lequel l'offre et la demande sont égales.
  
\medskip

\begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center}

\emph{A. Ajustement affine}

\medskip

On a relevé les valeurs, en tonnes, de l'offre et de la demande de ce produit pour différents prix de la tonne. Les résultats figurent dans le tableau suivant :

\bigskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix de la tonne, en euros : $x_{i}$&10&10,5&11&11,7&13&15&17\\ \hline
Demande, en tonne : $y_{i}$			&11,5	&10,5&9,9&9,1&7,9&6,5&5,1\\ \hline
Offre, en tonne : $z_{i}$			&3,5&4,5&4,9&5,3&5,8&6,2&6,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On pose $Y_{i} = \ln y_{i}$ et $Z_{i} = \text{e}^{z_{i}}$.

Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-3}$.

\bigskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$						&	&	&	&	&	&	&	17\\ \hline
$Y_{i} = \ln y_{i}$			&	&	&	&	&	&	&	\\ \hline
$Z_{i} = \text{e}^{z_{i}}$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $Y$ en $x$ sous la forme $Y =ax + b$ où $a$ est à arrondir à $10^{-2}$ et $b$ à $10^{-1}$.
		\item En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $Z$ en $x$ sous la forme $Z = a'x + b'$ où $a'$ et $b'$ sont à arrondir à l'unité.
		\item En déduire une expression de $z$ en fonction de $x$.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\emph{B. Recherche d 'un prix d'équilibre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur [10~;~17] par :

\[f(x) = \text{e}^{-0,11x+3,5}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ sur [10~;~17]. 
		\item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique deux centimètres. Faire la figure dans un repère orthonormal où la graduation commence à $10$ sur l'axe des abscisses et à $0$ sur l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}
\item Soit g la fonction définie sur [10~;~17] par :

\[g(x) = \ln (90x - 852).\]

	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de $g$ sur [10~;~17]. 
		\item  Construire la courbe représentative $\mathcal{C}_{g}$ de $g$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
	\end{enumerate}
\item  Résoudre graphiquement dans [10~;~17] l'équation $f(x) = g(x)$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles.
\item  On admet que, pour un prix du produit de $x$ euros la tonne, la demande $d(x) = f(x)$ et l'offre $o(x) = g(x)$ où $f$ et $g$ sont les fonctions définies au début de la partie B. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déduire de ce qui précède une valeur approchée du prix d'équilibre. 
		\item  En déduire une valeur approchée arrondie à $0,1$~tonne de l'offre correspondant an prix d'équilibre.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}
\end{center}

Une entreprise fabrique, en grande quantité, un certain type de pièces pour l'industrie automobile.

\bigskip

\emph{A. Évènements indépendants}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse à deux défauts possibles, notés $a$ et $b$.

On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[]  $E_{1}$ : \og la pièce prélevée présente le défaut $a$ \fg{} ;
\item[]  $E_{2}$ : \og la pièce prélevée présente le défaut $b$ \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On admet que $P\left(E_{1}\right) = 0,005$ et que $P\left(E_{2}\right) = 0,02$.

\bigskip

\textbf{Dans cette partie, on demande les valeurs exactes des probabilités.}

\medskip

On suppose de plus que les deux évènements $E_{1}$ et $E_{2}$ sont indépendants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production de la journée présente les deux défauts. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production de la journée présente au moins un des deux défauts. 
		\item  Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production de la journée ne présente aucun des deux défauts.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip

\emph{B. Loi binomiale}

\medskip

\textbf{Dans cette partie les résultats approchés sont à arrondir à}\boldmath  $10^{-3}$. \unboldmath 

On note $E$ l'évènement : \og une pièce prélevée au hasard dans un stock important présente un défaut pouvant affecter la sécurité \fg.

On suppose que $P(E) = 0,01$.
 
On prélève au hasard 50~pièces dans un stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise de 50~pièces. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50~pièces, associe le nombre de pièces de ce prélèvement présentant un défaut pouvant affecter la sécurité.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item Calculer $P(X = 0)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au plus deux pièces présentant un défaut pouvant affecter la sécurité. 
		\item  En déduire la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins trois pièces présentant un défaut pouvant affecter la sécurité.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}