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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\Comptabilité et gestion des organisations session 2005}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}

 Une PME fabrique des boules de billard. 

\begin{center}\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath \end{center}

\medskip

\emph{A. Loi normale}

\medskip 

Le diamètre des boules est exprimé en millimètres.
 
Une boule est dite \og de premier choix \fg{} si son diamètre appartient à l'intervalle [61~;~61,5], sinon, elle est dite \og de deuxième choix \fg. 

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre.
 
On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $61,25$ et d'écart type $0,2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une boule prélevée au hasard dans la production soit de premier choix. 
\item En déduire la probabilité qu'une boule prélevée au hasard dans la production soit de second choix. 
\item  Calculer $P(X \geqslant 61,5)$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{B. Loi binomiale}

\medskip 
 
Dans un stock de boules, 67\,\% des boules sont blanches et le reste est rouge.

On prélève au hasard 15 boules de ce stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 15 boules.
 
On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 15~boules, associe le nombre de boules blanches parmi les 15~boules. 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement 10~boules blanches. 
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait, au plus, 13~boules blanches. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\emph{C. Événements indépendants}

\medskip 

On prélève une boule au hasard dans un lot important.
 
On note $A$ l'évènement \og la boule est de deuxième choix \fg.
 
On note $B$ l'évènement \og la boule est blanche \fg.
 
On admet que les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont $P(A) = 0,21$ et

$P(B) = 0,67$. On suppose de plus que ces deux évènements sont indépendants.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l' évènement $E_{1}$ : \og la boule est de deuxième choix et elle est blanche \fg. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{2}$ : \og la boule est de deuxième choix ou elle est blanche \fg. 
\item On rappelle que si une boule n'est pas de deuxième choix, elle est de premier choix et que les boules sont, soit blanches, soit rouges.
 
Calculer la probabilité de l'évènement $E_{3}$ : \og la boule est de premier choix et elle est rouge \fg.
 
On admet que si les évènements $A$ et $B$ sont indépendants, alors les évènements $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\emph{A. Étude d'une fonction logistique}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(t) = \dfrac{12}{1+3\text{e}^{- \frac{t}{2}}}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- \frac{t}{2}} = 0$. En déduire $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}  f(t)$.
		\item  Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[$,
		
		\[f'(t) = \dfrac{18\text{e}^{- \frac{t}{2}}}{\left(1+3\text{e}^{- \frac{t}{2}} \right)^2}.\] 

		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+\infty[$. 
		\item Établir le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente $\Delta$ à la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ au point d'abscisse $0$. 
		\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $1O^{-1}$.
		
\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
$t$		&0	&1 	&2 	&4 	&5 	&8 	&10\\ \hline 
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item  Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(t) = 10$.
 
On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. 
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $t$ de $[0~;~+\infty[,~ f(t) = \dfrac{12\text{e}^{\frac{t}{2}}}{\text{e}^{\frac{t}{2}} + 3}$.  
		\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $F(t) = 24\ln \left(\text{e}^{\frac{t}{2}} + 3\right)$.
		 
Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la valeur moyenne de $f$ sur [0~;~10] est : 

\[V_{m} = 2,4 \ln \left(\dfrac{\text{e}^5 + 3}{4} \right).\]

		\item  Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{-2}$, de $V_{m}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
\bigskip

\emph{C. Application économique}

\medskip 

On admet que dans une entreprise fabriquant des accessoires pour la téléphonie mobile, la production d'un certain matériel depuis 1993, est donnée, en milliers d'exemplaires, par $f(t)$.
 
Par exemple $f(0) = 3$ se traduit par : \og en 1993, il a été fabriqué \np{3000} exemplaires du matériel considéré \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déduire de la partie A. une valeur approchée de la production de ce matériel en 2001. 
\item Déduire de la partie A., l'année au cours de laquelle la production a dépassé 10~milliers d'exemplaires. 
\item À l'aide d'une phrase, interpréter le résultat de la question 2. b. de la partie B. 
\end{enumerate}
\end{document}