%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès Sujet aimablement fourni par Nathalie Mignot
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%% Espaces autour du point-virgule
%% (code de D. Flipo)
%\makeatletter
%\@tempcnta=\mathcode`;
%\advance\@tempcnta by -"3000 % 
%\mathcode`;=\@tempcnta
%\makeatother
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.} }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie novembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur ~\decofourright\\Comptabilité et gestion des organisations\\
Nouvelle--Calédonie session 2010}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{A. Étude d'une fonction}

\medskip
   
%Soit $f$ la fonction définie sur [1~;~100] par 
%
%\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{0,02x+0,28}}{x}.\]
% 
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. On prend comme unités graphiques 1~cm pour 10 sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 0,1 sur l'axe des ordonnées.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout $x$ de [1~;~100] : $f'(x) = \dfrac{\text{e}^{0,02x+0,28}}{x^2}(0,02x - 1)$.
$f$ est dérivable pour $x > 0$, donc sur [1~;~100] et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{0,02x\text{e}^{0,02x+0,28} - \text{e}^{0,02x+0,28}}{x^2} =   \dfrac{\text{e}^{0,02x+0,28}}{x^2}(0,02x - 1)$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~100].
Comme $\text{e}^{0,02x+0,28} > 0$ et $x^2 > 0$, quel que soit le réel $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de la différence $0,02x - 1$.

Or $0,02x - 1 > 0 \iff 0,02x > 1 \iff x > 50.$
De m\^eme  $0,02x - 1 < 0 \iff 0,02x < 1 \iff x < 50.$

Conclusion : sur [1~;~50[, $f'(x) < 0$ et sur ]50~ ;~100], $f'(x) > 0$. 
	\end{enumerate} 
\item %Établir le tableau de variations de $f$ sur [1~;~100]. On complètera ce tableau avec des valeurs exactes.
On en déduit le tableau de variations suivant avec $f(1) = \dfrac{\text{e}^{0,02+0,28}}{1} = \text{e}^{0,3}$, {} $f(50) = \dfrac{\text{e}^{0,02 \times 50 +0,28}}{50} = \dfrac{\text{e}^{1,28}}{50}$, {} $f(100) = \dfrac{\text{e}^{0,02\times 100+0,28}}{100} = \dfrac{\text{e}^{2,28}}{100}$.

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$1$} \uput[u](5,2.5){$50$} \uput[u](7.8,2.5){$100$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(3.5,2.25){$-$}\rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(3,1.5)(4.5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(7.,1.5)
\uput[d](2.3,2){$\text{e}^{0,3}$} \uput[u](5,0){$\dfrac{\text{e}^{1,28}}{50}$}\uput[d](7.5,2){$\dfrac{\text{e}^{2,28}}{100}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1		&5	&10	&20	&50		&80	&100\\ \hline
$f(x)$	&1,35	&0,29	&0,16	&0,10	&0,07	&0,08	&0,10\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item %Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré.
Voir à la fin. 
\item %Résoudre graphiquement dans [1~;~100] l'inéquation $f(x) \leqslant 0,3$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles.
On trace la droite d'équation $y = 0,3$ qui coupe la courbe $\mathcal{C}$ en un point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. On lit à peu près : 0,5. L'ensemble solution est donc $[0,5~;~100]$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Calcul intégral}

\medskip
 
%Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~100] par 
%
%\[g(x) = 10\text{e}^{0,02x + 0,28}.\] 
%
%On note $I = \displaystyle\int_{1}^{100} 	g(x)\:\text{d}x$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $I = 500 \left(\text{e}^{2,28} - \text{e}^{0,3}\right)$.
$I = \displaystyle\int_{1}^{100} 	\left[10\text{e}^{0,02x + 0,28}\right] \:\text{d}x = \left[\dfrac{10} {0,02} \text{e}^{0,02x + 0,28}\right]_{1}^{100} = \left[500\text{e}^{0,02x + 0,28} \right]_{1}^{100} = 500\text{e}^{0,02 \times 100 + 0,28} - 500\text{e}^{0,02 \times 1 + 0,28} = 500\text{e}^{2,28} - 500\text{e}^{0,3} = 500 \left(\text{e}^{2,28} - \text{e}^{0,3} \right)$.
\item En déduire la valeur approchée arrondie à $10^{- 2}$ de la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~100].
On a $m_{g} = \dfrac{1}{100 - 1}\displaystyle\int_{1}^{100} 	g(x)\:\text{d}x = \dfrac{10}{99}\displaystyle\int_{1}^{100}\text{e}^{0,02x + 0,28} = \dfrac{10}{0,02 \times 99}\left[\text{e}^{0,02x + 0,28} \right]_{1}^{100} = \dfrac{500}{99} \left(\text{e}^{2,28} - \text{e}^{0,3} \right)$.

Donc $m_{g} \approx 42,56$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Application des parties A et B}

\medskip
 
%Une entreprise fabrique et vend chaque jour un certain type d'articles. 
% 
%Le coût de production, en euros, d'un article en fonction du nombre $x$ de dizaines d'articles fabriqués est $f(x)$, où $f$ est la fonction définie au début de la partie \emph{A}.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déduire de la partie \emph{A} le nombre d'articles que l'entreprise doit fabriquer pour que le coût unitaire de production soit inférieur ou égal à $30$ centimes d'euros.
Il faut donc résoudre l'inéquation :

$\dfrac{f(x)}{10} \leqslant 0,30 \iff \dfrac{\text{e}^{0,02x + 0,28}}{x} \leqslant 0,3$. 

Or on a résolu cette inéquation dans la partie A et les nombres solutions sont les nombres supérieurs à 49, donc entre 50 et \np{1000}~articles.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que le nombre $g(x)$ défini dans la partie B représente le coût total de production de $x$ dizaines d'articles fabriqués par l'entreprise.
Puisque $f(x)$ représente le coût de production, en euros, d'un article en fonction du nombre $x$ de dizaines d'articles fabriqués, le co\^ut total de production de $x$ dizaines d'objets  est égal à $10x \times f(x) = 10\text{e}^{0,02x + 0,28} = g(x)$. 
		\item  %Donner à l'aide d'une phrase, une interprétation économique du résultat obtenu à la question \textbf{2.} de la partie  \emph{B}.
$m_{g}$ représente donc le co\^ut moyen total de production, cette production variant de 10 à \np{1000} articles.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\medskip
\psset{xunit=0.1cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(110,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=0.1]{->}(0,0)(110,1.5)
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=1,labels=none](0,0)(10,1.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{100}{2.71828 0.02 x mul 0.28 add exp x div}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.5)}
\multido{\n=0.0+0.1}{16}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,0.3)(4.86,0.3)(4.86,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

%\begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} \end{center}
% 
%Une chaîne de magasins de bricolage commercialise deux types de ponceuses : des ponceuses \og elliptiques \fg{} et des ponceuses \og à bande \fg.
%
%\begin{center} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à}~\boldmath  $10^{-2}$ \unboldmath
%\end{center}
 
\emph{A. Loi binomiale}

\medskip
 
%On note $D$ l'évènement : \og Une ponceuse elliptique prélevée au hasard dans un stock important de la chaîne est défectueuse \fg. 

%On suppose que $P(D) = 0,08$.
 
%On prélève au hasard 25 ponceuses elliptiques dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 25 ponceuses.
 
%On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de ponceuses défectueuses de ce prélèvement.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Le stock étant important, les tirages sont indépendants ; $X$ est donc la variable aléatoire d'une loi binomiale de paramètres $n = 25$ et $p = 0,08$. 
\item %Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre ponceuses défectueuses.
$p(X = 4) = \binom{25}{4}0,08^4(1 - 0,08)^{25 - 4} \approx 0,09$. 
\item %Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins une ponceuse défectueuse.
$p(X \geqslant 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - \binom{25}{0}0,08^0\times 0,92^25 \approx 0,88$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
On a E$(X) = np = 25 \times 0,08 = 2$.
		\item %La réparation d'une ponceuse défectueuse coûte 30~euros. Quelle est, pour un lot de 25~ponceuses elliptiques, le montant moyen des réparations des ponceuses elliptiques défectueuses ?
Le montant moyen est égal à E$(X) \times 30 = 2 \times 30 = 60$~\euro. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}

\medskip
 
%On note $R$ l'évènement : \og Une ponceuse à bande prélevée au hasard dans un lot important provenant du fabricant nécessite un réglage avant sa commercialisation \fg.
% 
%On suppose que $P(R) = 0,45$.
% 
%On prélève au hasard un lot de 50~ponceuses à bande pour vérification. Le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~ponceuses.
% 
%On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de ponceuses à bandes de ce prélèvement nécessitant un réglage.
% 
%On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $50$ et $0,45$ (\textbf{ce résultat n'a pas à être justifié}).
% 
%On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de moyenne $22,5$ et d'écart type $3,5$.
% 
%On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $22,5$ et d'écart type $3,5$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier le choix des paramètres de cette loi normale. 
On approche la loi binomiale par la loi normale de m\^eme espérance $np = 50 \times 0,45 = 22,5$, d'o\`u le choix de la moyenne et de m\^eme variance $np(1 - p) = 50\times 0,45 \times 0,55 = 12,375$. Or $\sqrt{12,375} \approx 3,5$, d'o\`u le choix de l'écart type.
%$\left(3,5~ \text{est une valeur appro\-chée arrondie  à}~ 10^{-1} \right)$. 
\item %Calculer la probabilité qu'au moins 25 ponceuses nécessitent un réglage c'est à dire calculer $P(Z \geqslant 24,5)$.
On pose $C = \dfrac{Z - 22,5}{3,5}$. $C$ suit une loi normal centrée réduite N(0~ ;~1) et 

$Z = 3,5C + 22,5$.

Donc $p(Z < 24,5) = p(3,5C + 22,5 < 24,5) = p\left(C < \frac{4}{7}\right) = \Pi\left(\frac{4}{7}\right) \approx 0,71$.

Finalement $P(Z \geqslant 24,5) \approx 0,29$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\emph{C. Probabilités conditionnelles}

\medskip
 
%Les ponceuses à bande proviennent de deux fabricants, notés \og fabricant 1 \fg et \og fabricant 2 \fg.
%
%50\,\% des ponceuses provenant du fabricant 1 nécessitent un réglage et 37\,\% des ponceuses provenant du fabricant 2 nécessitent un réglage.
% 
%On prélève au hasard une ponceuse dans un stock important contenant 60\,\% de ponceuses provenant du fabricant 1 et le reste du fabricant 2.
% 
%On définit les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $A$ : \og La ponceuse provient du fabricant 1 \fg{} ; 
%\item[] $B$ : \og La ponceuse provient du fabricant 2 \fg{} ; 
%\item[] $E$ : \og La ponceuse nécessite un réglage \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités
$P(A) = 0,6$, {}$P(B) =0,4$, {} $P_{A}(E) = 0,5$ et  $P_{B}(E) = 0,37$. 
% $P(A)~;~P(B)~;~P_{A}(E)$ et $P_{B}(E)$. 
\item %Calculer $P(A \cap E)$ et $P(B \cap E)$. En déduire $P(E)$.
$P(A \cap E) = P_{A}(E) \times P(A) = 0,5 \times 0,6 = 0,3$ ;

$P(B \cap E) = P_{B}(E) \times P(B) = 0,37 \times 0,4 = 0,128$ ;

D'après la loi des probabilités totale :

$P(E) = P(A \cap E) + P(B \cap E) = 0,3 + 0,128 = 0,428$.
\item %Calculer la probabilité que la ponceuse provienne du fabricant 1 sachant qu'elle nécessite un réglage.
La probabilité cherchée est $P_{E}(A) = \dfrac{P(E \cap A)}{P(E)} = \dfrac{0,3}{0,428} \approx 0,70$. 
\end{enumerate}
\end{document}