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%Tapuscrit : Denis Vergès Sujet aimablement fourni par Nathalie Mignot
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.} }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie novembre 2010}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2010~\decofourright\\Comptabilité et gestion des organisations\\
Nouvelle--Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{A. Étude d'une fonction}

\medskip
   
Soit $f$ la fonction définie sur [1~;~100] par 

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{0,02x + 0,28}}{x}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. On prend comme unités graphiques 1~cm pour 10 sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 0,1 sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ de [1~;~100] : $f'(x) = \dfrac{\text{e}^{0,02x+0,28}}{x^2}(0,02x - 1)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~100].
	\end{enumerate} 
\item Établir le tableau de variations de $f$ sur [1~;~100]. On complètera ce tableau avec des valeurs exactes. 
\item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1		&5	&10	&20	&50		&80	&100\\ \hline
$f(x)$	&1,35	&	&	&	&0,07	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré. 
\item Résoudre graphiquement dans [1~;~100] l'inéquation $f(x) \leqslant 0,3$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. 
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Calcul intégral}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~100] par 

\[g(x) = 10\text{e}^{0,02x + 0,28}.\] 

On note $I = \displaystyle\int_{1}^{100} 	g(x)\:\text{d}x$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $I = 500 \left(\text{e}^{2,28} - \text{e}^{0,3}\right)$. 
\item En déduire la valeur approchée arrondie à $10^{- 2}$ de la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~100]. 
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Application des parties A et B}

\medskip
 
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un certain type d'articles. 
 
Le coût de production, en euros, d'un article en fonction du nombre $x$ de dizaines d'articles fabriqués est $f(x)$, où $f$ est la fonction définie au début de la partie \emph{A}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déduire de la partie \emph{A} le nombre d'articles que l'entreprise doit fabriquer pour que le coût unitaire de production soit inférieur ou égal à $30$ centimes d'euros. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le nombre $g(x)$ défini dans la partie B représente le coût total de production de $x$ dizaines d'articles fabriqués par l'entreprise. 
		\item  Donner à l'aide d'une phrase, une interprétation économique du résultat obtenu à la question \textbf{2.} de la partie  \emph{B}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} \end{center}
 
Une chaîne de magasins de bricolage commercialise deux types de ponceuses : des ponceuses \og elliptiques \fg{} et des ponceuses \og à bande \fg.

\begin{center} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à}~\boldmath  $10^{-2}$ \unboldmath
\end{center}
 
\emph{A. Loi binomiale}

\medskip
 
On note $D$ l'évènement : \og Une ponceuse elliptique prélevée au hasard dans un stock important de la chaîne est défectueuse \fg. 

On suppose que $P(D) = 0,08$.
 
On prélève au hasard 25 ponceuses elliptiques dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 25 ponceuses.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de ponceuses défectueuses de ce prélèvement.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre ponceuses défectueuses. 
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins une ponceuse défectueuse. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. 
		\item La réparation d'une ponceuse défectueuse coûte 30~euros. Quelle est, pour un lot de 25~ponceuses elliptiques, le montant moyen des réparations des ponceuses elliptiques défectueuses ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}

\medskip
 
On note $R$ l'évènement : \og Une ponceuse à bande prélevée au hasard dans un lot important provenant du fabricant nécessite un réglage avant sa commercialisation \fg.
 
On suppose que $P(R) = 0,45$.
 
On prélève au hasard un lot de 50~ponceuses à bande pour vérification. Le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~ponceuses.
 
On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de ponceuses à bandes de ce prélèvement nécessitant un réglage.
 
On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $50$ et $0,45$ (\textbf{ce résultat n'a pas à être justifié}).
 
On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de moyenne $22,5$ et d'écart type $3,5$.
 
On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $22,5$ et d'écart type $3,5$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier le choix des paramètres de cette loi normale 

$\left(3,5~ \text{est une valeur appro\-chée arrondie  à}~ 10^{-1} \right)$. 
\item  Calculer la probabilité qu'au moins 25 ponceuses nécessitent un réglage c'est à dire calculer $P(Z \geqslant 24,5)$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\emph{C. Probabilités conditionnelles}

\medskip
 
Les ponceuses à bande proviennent de deux fabricants, notés \og fabricant 1 \fg et \og fabricant 2 \fg.

50\,\% des ponceuses provenant du fabricant 1 nécessitent un réglage et 37\,\% des ponceuses provenant du fabricant 2 nécessitent un réglage.
 
On prélève au hasard une ponceuse dans un stock important contenant 60\,\% de ponceuses provenant du fabricant 1 et le reste du fabricant 2.
 
On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og La ponceuse provient du fabricant 1 \fg{} ; 
\item[] $B$ : \og La ponceuse provient du fabricant 2 \fg{} ; 
\item[] $E$ : \og La ponceuse nécessite un réglage \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités

 $P(A)~;~P(B)~;~P_{A}(E)$ et $P_{B}(E)$. 
\item Calculer $P(A \cap E)$ et $P(B \cap E)$. En déduire $P(E)$. 
\item Calculer la probabilité que la ponceuse provienne du fabricant 1 sachant qu'elle nécessite un réglage. 
\end{enumerate}
\end{document}