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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2010~\decofourright\\Métropole  Comptabilité et gestion des organisations}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} \end{center}

\emph{A. Loi binomiale}

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Dans cette partie, les probabilités sont à arrondir à} \boldmath  $10^{-3}$ \end{center}

On a observé que 87\,\% des entreprises créées en France en 2008 n'emploient aucun salarié.
 
On prélève au hasard huit entreprises parmi l'ensemble des entreprises créées en France en 2008. Le nombre d'entreprises créées est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de huit entreprises.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de ce type, associe le nombre d'entreprises qui n'emploient aucun salarié. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item  Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement les huit entreprises n'emploient aucun salarié. 
\item  Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement au moins sept des entreprises n'emploient aucun salarié.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{B. Loi normale}
 
\begin{center}\textbf{Cette partie est un questionnaire à choix multiples.}\end{center}
 
\emph{Pour chacune des deux questions, une seule réponse A, B, C est exacte. 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\ 
Notation :\\ 
Chaque réponse juste rapporte $1,5$ point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip
 
On appelle $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $874$ et d'écart type $10,5$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $P(859,5 \leqslant  Y \leqslant 890,5)$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A&Réponse B&Réponse C \\ \hline
0,58&  0,03 & 0,86\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
  
\item  La valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $P(Y \geqslant  880,5)$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A&Réponse B&Réponse C \\ \hline
0,27&  0,73 & 0,84\\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Étude d'une suite}

\medskip
 
On se propose d'étudier l'évolution de la capacité mondiale de production d'énergie éolienne en mégawatts (MW).
 
On dispose des données suivantes : en 2008, cette capacité est égale à \np{120791}~ MW. On prévoit que cette capacité augmente de 20\:\% chaque année à partir de 2008. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les capacités mondiales prévues pour 2009 et 2010 sous cette hypothèse.
\item  On note $u_{n}$ la capacité mondiale de production d'énergie éolienne l'année $2008 + n$. On a donc $u_{0} = \np{120791}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison. 
		\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le plus petit entier $p$ tel que: $(1,2)^p \geqslant \dfrac{\np{250000}}{\np{120791}}$. 
		\item En déduire, en le justifiant, à partir de quelle année on peut prévoir que la capacité mondiale de production d'énergie éolienne dépassera
		
\np{250000}~MW.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\emph{A. Étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur [1~;~13] par : 

\[f(x) = 3 x + 14 - 12\ln (2x).\]
 
Sa courbe représentative $\mathcal{C}$, dans un repère orthonormal est donnée en annexe  à rendre avec la copie.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur [1~;~13]. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de [1~;~13].  
		\item Montrer que, pour tout $x$ de [1~;~13], $f'(x) = \dfrac{3x - 12}{x}$.  
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur [1~;~13]. 
		\item Construire le tableau de variations de $f$ sur [1~;~13].
	\end{enumerate} 
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 4$.
 
On fera apparaître sur la figure donnée en annexe les traits de constructions utiles et on donnera des valeurs approchées arrondies à $10^{- 1}$ des solutions.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{B. Calcul intégral}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur [1~;~13] par 

\[F(x) = \dfrac{3}{2}x^2 + 26x - 12x \ln (2x).\]
 
Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur [1~;~13].  
\item  On note $I = \displaystyle\int_{1}^{13} f(x)\:\text{d}x$.
 
Démontrer que $I = 564 - 156 \ln (26) + 12 \ln (2)$. 
\item  En déduire la valeur exacte de la valeur moyenne $V_{m}$ de la fonction $f$ sur [1~;~13]. Donner la valeur approchée arrondie à $10^{- 1}$ de $V_{m}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{C. Application de la partie A}

\medskip
 
Une entreprise fabrique, chaque jour, entre $100$ et \np{1300}~objets identiques.
 
On admet que lorsque $x$ centaines d'objets sont fabriqués, $1 \leqslant  x \leqslant 13$, le coût moyen de fabrication d'un objet est $f(x)$ euros où $f$ est la fonction qui a été définie dans la partie A.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la quantité de pièces à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal. 
		\item  Déterminer alors ce coût moyen. Arrondir au centime d'euro.
	\end{enumerate} 
\item Utiliser les résultats de la partie $A$ pour déterminer les quantités d'objets à fabriquer afin que le coût moyen de fabrication d'un objet soit inférieur ou égal à 4~euros. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}\textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\psset{unit=0.857cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(13,14)
\psplot[plotpoints=10000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{13}{3 x mul 14 add x 2 mul ln 12 mul  sub}
\psgrid[gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridlabels=0pt,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,subgriddiv=5](-1,-1)(13,14)
\uput[r](9,6.2){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](13,0){$x$}\uput[l](0,14){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}