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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2009~\decofourright\\Métropole  Comptabilité et gestion des organisations}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Les trois parties de cet exercice sont indépendants.

\medskip
 
Une entreprise réalise et commercialise des compositions florales ainsi que des produits pour le jardin. 

\medskip

\emph{A. Évènements indépendants}

\begin{center}
\textbf{Dans cette partie, on demande les valeurs exactes des probabilités}
\end{center}
 
L'entreprise confectionne ses compositions florales avec des bulbes de fleurs qu'elle reçoit en grande quantité. Chaque bulbe peut présenter deux défauts que l'on désigne par défaut $a$ et défaut $b$.
 
On prélève un bulbe au hasard dans un stock important.
 
On note $A$ l'évènement : \og le bulbe présente le défaut $a$ \fg{}  et on note $B$ l'évènement : \og le bulbe présente le défaut $b$ \fg.
 
On admet que les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont $P(A) = 0,015$ et 

$P(B) =  0,02$. On suppose que les deux événements $A$ et $B$ sont indépendants. 

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$ : \og le bulbe présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{2}$ ; \og le bulbe présente au moins un des deux défauts \fg.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{3}$ : \og le bulbe ne présente aucun des deux défauts \fg. 
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Dans ce qui suit, tous les  résultats  approchés sont  à  arrondir à}\boldmath  $10^{-2}.$ \unboldmath 
\end{center}
\medskip

\emph{B. Loi binomiale}

\medskip
 
On s'intéresse à une livraison importante de compositions florales d'un certain type, destinée à une chaine d'hypermarchés.
 
On note $D$ l'évènement : \og une composition florale prélevée au hasard dans la livraison est défectueuse \fg.
 
On suppose que $P(D) = 0,025$.
 
On prélève au hasard 12 compositions dans la  livraison pour vérification. La livraison contient assez de compositions pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 12~compositions.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de compositions de ce prélèvement qui sont défectueuses.
 
\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement il y ait exactement deux compositions défectueuses. 
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au plus une composition défectueuse. 
\end{enumerate}

\medskip

\emph{C. Loi normale et somme de variables indépendantes}

\medskip

L'entreprise commercialise deux types d'engrais : le type $C_{1}$ en poudre, et le type $C_{2}$ en granulés.
 
\begin{enumerate}
\item  On note $X_{1}$, la variable aléatoire qui, à toute semaine prise au hasard pendant une année associe la demande en kilogrammes d'engrais de type $C_{1}$, pour cette semaine. 

On suppose que la variable aléatoire $X_{1}$, suit la loi normale de moyenne 160 et d'écart type 32.
 
Calculer $P\left(X_{1} \leqslant  200\right)$. 
\item  On note $X_{2}$, la variable aléatoire qui, à toute semaine prise au hasard pendant une année associe la demande en kilogrammes d'engrais de type $C_{2}$, pour cette semaine. 

On suppose que la variable aléatoire $X_{2}$, suit la loi normale de moyenne 77 et d'écart type 28. 

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à toute semaine prise au hasard pendant une année associe la demande totale en kilogrammes d'engrais de type $C_{1}$, et de type $C_{2}$, pour cette semaine.
 
On a $Y =  X_{1} + X_{2}$.
 
On suppose que les variables aléatoires $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes. On admet que $Y$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart type $a$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que $m =  237$ et qu'une valeur approchée de $a$ arrondie à $10^{-2}$, est 42,52. 
	\item Calculer la probabilité $P(Y \geqslant  340)$. 
	\item Le coût de stockage de cet engrais est élevé. L'entreprise a-t-elle raison de limiter Ia production totale hebdomadaire de cet engrais à 340~kilogrammes ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{A. Résolution graphique d'une inéquation}

Soit $f$ la fonction définie sur $[1~;~10]$ par
\[f(x) = \dfrac{10}{\ln (2x + 3)}\] 

La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal est tracée sur l'annexe à rendre avec la copie. 

Résoudre graphiquement dans $[1~;~10]$ I'inéquation $f(x) \leqslant 3,5$. Faire apparaître sur la figure les constructions utiles.

\medskip 
\emph{B.  Étude d'une fonction}
 
Soit $g$ la fonction définie sur [0~;~10J par 
\[g(x) =  5 - \text{e}^{-0,2x + 1}\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de $[1~;~10]$.
	\item  Étudier le signe de $g'(x)$ sur $[1~;~10]$, 
  	\end{enumerate}
\item Donner la tableau de variation de $g$ sur $[1~;~10]$, 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$.
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&1	&2	&3	&4		&5	&6	&8	&10\\ \hline
$g(x)$&	&	&	&3,78	&4	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

	\item  Tracer la courbe représentative $\Gamma$ de $g$ sur l'annexe à rendre avec la copie, dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$. 
	\end{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = g(x)$ où $f$ est la fonction définie dans la partie A. Faire apparaître sur la figure les constructions utiles.
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $G$ la fonction définie sur $[1~;~10]$ par
 
\[G(x)  =  5x + 5\text{e}^{-0,2x + 1}.\]
 
Démontrer que la fonction $G$ est une primitive sur $[1~;~10]$ de la fonction $g$ définie au début de la partie B. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la valeur moyenne de la fonction $g$ sur $[1~;~10]$ est : 
		\[V_{m} = \dfrac{45 + 5\text{e}^{-1} - 5\text{e}^{0,8}}{9}.\]
		
	\item  Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $V_{m}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\emph{D. Application des parties A et B}

\medskip
 
On considère un produit dont le prix de la tonne, exprimé en dizaines d'euros, est noté $x$.
 
La \textbf{demande}, $d(x)$ est la quantité de ce produit, exprimée en milliers de tonnes que les consommateurs sont prêts à acheter au prix de $x$ dizaines d'euros la tonne.
 
\textbf{L'offre}, $o(x)$ est la quantité de ce produit, exprimée en milliers de tonnes, que les producteurs sont prêts à vendre au prix de $x$ dizaines d'euros la tonne.
 
On appelle \textbf{prix d'équilibre} de ce produit le prix pour lequel l'offre et la demande sont égales.

 On admet que, pour un prix du produit de $x$ dizaines d'euros la tonne, avec 
 
 $1 \leqslant  x \leqslant 10$, la demande est $d(x) = f(x)$ et l'offre est $o(x) = g(x)$, où $f$ et $g$ sont les fonctions définies dans les parties A et B. 
\begin{enumerate}
\item  En utilisant un résultat de la partie A ou de la partie B, indiquer à partir de quel prix de la tonne en euros, la demande est inférieure ou égale à \nombre{3500}~tonnes. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déduire d'un résultat de la partie B une valeur approchée du prix d'équilibre en euros. 
	\item  Donner une valeur approchée de la demande correspondant au prix d'équilibre. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe}

\vspace{1cm}


\textbf{Exercice 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(10.5,10)
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\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{0}{10}{10 2 x mul 3 add ln div}
\uput[d](10.5,0){$x$} \uput[l](0,10){$f(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}
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