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%Tapuscrit : Baeyens Nicolas
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{13 mai 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2013\\Métropole  Comptabilité et gestion des organisations}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

L'objectif de cet exercice est d'utiliser une modélisation du pourcentage de bacheliers en France entre 1951 et 1985 puis d'en bâtir une deuxième sur la période allant de 1985 à 2010.

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction logistique.}

\medskip
Considérons la fonction $f$ définie sur $[0\, ;\, + \infty[$ par la relation : $f(x)=\dfrac{33}{1+1417\text{e}^{-0,11x}}$\\
On désigne par $\C_f$ la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item  On admet que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \text{e}^{-0,11x} = 0$.%\\

En déduire $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$. Donner l'interprétation graphique de ce résultat.
\item \begin{enumerate}
 \item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et montrer que pour tout $x$ de $[0\, ;\, +\infty[$,
$\displaystyle f'(x) =\dfrac{\np{5143,71} \text{e}^{-0,11x}}{\left(1 + \np{1417}\text{e}^{-0,11x}\right)^2}$.
\item En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B : une fonction rationnelle.}

\medskip

Considérons maintenant la fonction $g$ définie sur $[85\,;\, +\infty[$ par la relation $g(x) =\dfrac{- 871}{x - 70} 	+ 87,5$.\\ 
On donne ci-dessous le tableau des variations complet de la fonction $g$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) \psline(0,2)(6,2) \psline(0,2.5)(6,2.5)
\psline(1.5,0)(1.5,3)
\uput[u](0.75,2.5){$x$} \uput[u](1.7,2.5){85} \uput[u](5.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.75,2.25){$g'(x)$} \rput(3.75,2.25){$+$} \rput(0.75,1){$g(x)$}
\uput[u](1.95,0){$\approx 29,4$}\uput[d](5.5,2){87,5}\psline{->}(2.5,0.5)(5,1.75) 
\end{pspicture}
\end{center}
%$$\tabvar{%
%\tx{x}&\tx{85}&&\tx{+\infty}\cr
%\tx{g'(x)}&&\tx{+}&\cr
%\tx{g(x)}&\txb{\simeq 29,4}&\fm&\txh{87,5}\cr
%}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $[85\,;\, +\infty[$.
\item  Montrer que :	$\displaystyle\int_{85}^{110} g(x)\text{ d}x = 871 \ln\left(\dfrac{3}{8}\right) + \np{2187,5}$		
\item En déduire une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $[85\, ;\,110]$.
\end{enumerate} 
\medskip

\textbf{Partie C : modélisation du pourcentage de bacheliers en France entre 1951 et 1985.}

\medskip

Le pourcentage des bacheliers en France entre 1951 et 1985 et suivant une même classe d'âge est rapporté dans le tableau \no 1
\begin{center}
Tableau \no 1

\medskip

\begin{tabularx}{0.95 \linewidth}{|c|*{9}{>{\centering\arraybackslash}X|}} \hline 
Année	&1951	&1956	&1966	&1968	&1970	&1974	&1977	&1980&1985 \\ \hline 
Rang	&51		&56		&66		&68		&70		&74		&77		&80	&	85 \\ \hline 
pourcentage&5,3	&7,4	&12,5	&19,6	&20,1	&23,7	&24,6	&25,9&29,4 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
{\it Source : RERS, ministère de l'éducation nationale}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  On donne en {\bf annexe 1 à rendre avec la copie} le tracé du nuage de points associé au tableau \no 1. Construire sur ce même dessin la représentation graphique $\C_f$ de la fonction $f$ étudiée partie A ainsi
que l'asymptote. La courbe $\C_f$ sera tracée à partir de $x = 48$.\\
On remplira au préalable le tableau de valeurs fourni dans cette même annexe (arrondir à 0,1).
\item La fonction $f$ modélise-t-elle convenablement l'évolution du pourcentage de bacheliers sur la période 1951 - 1985 ?
\end{enumerate}
\item À partir de ce modèle, donner une prévision, en utilisant la partie A, de la proportion maximale de bacheliers en France dans les années suivantes.
\end{enumerate}
\textbf{Partie D : modélisation de la proportion de bacheliers en France de 1985 jusqu'en 2010.}

\medskip

A partir de 1985. sous l'influence de facteurs divers, dont la création du baccalauréat professionnel, la proportion de bacheliers en France par classe d'âge augmente significativement.

Le tableau \no 2 en fournit quelques valeurs :
\begin{center}
Tableau \no 2 :

\medskip
\begin{tabularx}{0.95 \linewidth}{|c|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline 
Année&1985	&1990&	2005&	2007&	2010 \\ \hline
Rang &	85&	90&	105&	107&	110 \\ \hline 
Proportion en \%&	29,4&	43,5&	61,4&	62,9&	65,7 \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
{\it Source : RERS 2011, ministère de l'éducation nationale}

\begin{enumerate}
\item Le modèle utilisé dans la partie C vous paraît-il fiable sur cette période ? Justifiez succinctement votre réponse.
\item On donne en annexe 2 le nuage de points associé au tableau \no 2 ainsi que le tracé d'une courbe qui approche au mieux ce nuage.\\
Le logiciel stipule que la courbe est la représentation graphique d'une fonction $g$ définie par la relation
$g(x) =\dfrac{a}{x-70}+ b$ avec $a$ et $b$ deux réels fixés.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $g(85)$ et $g(110)$ en fonction des réels $a$ et $b$.
\item  En admettant que la courbe associée à la fonction $g$ passe par les points de coordonnées $(85\, ;\,29,4)$ et $(110\, ;\, 65,7)$, justifier que les réels $a$ et $b$ vérifient le système $(S)$ : $\left\{ \begin{array}{lcr}
 a+15b&=& 441 \\
a + 40b &=&\np{2628} \\
\end{array} \right.$
\item Résoudre le système $(S)$. On donnera les valeurs exactes de $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $g$ recherchée est celle fournie dans la partie B (les valeurs de $a$ et $b$ ont été arrondies).\\
En vous aidant des résultats donnés dans la partie B :
\begin{enumerate}
\item Donner une prévision du pourcentage maximal de bacheliers en France par classe d'âge les années suivantes.
\item Interpréter par une phrase le résultat obtenu à la question 3. de la partie B.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\vspace{0.5 cm}
\textbf{Exercice \no 2 \hfill (8 points)} \\
Les parties A et B sont indépendantes.
 
\medskip

\textbf{Partie A : Q.C.M.}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque item, une seule des trois affirmations proposées est vraie. \\
Chaque réponse juste rapporte un point, chaque réponse fausse enlève $0,25$ point. Une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si la somme des points est négative, elle est ramenée à zéro.}
\begin{enumerate}
\item Chaque année, plusieurs dizaines de milliers de personnes empruntent les chemins de Saint Jacques de Compostelle. Le tableau ci-dessous donne le nombre annuel de pèlerins arrivés à Compostelle en Espagne depuis 2005 (année 2010 exclue).

\begin{tabularx}{0.95 \linewidth}{|c|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}} \hline 
Année	&2005&	2006&	2007&	2008&	2009&	2011 \\ \hline 
Rang de l'année $x$	&0	&1	&2	&3&	4&	6 \\ \hline 
Nombre de pèlerins $y$&	93 925	& 100 377&	114 026&	125 143	&145 878	&179 919 \\ \hline 
\end{tabularx} \\
{\it Source : bureau des pèlerins de Saint-Jacques de Compostelle}
\begin{enumerate}
\item On admet que le nuage de points associé à cette série statistique est rectiligne. L'équation de la droite de régression de y en x associée à la série est :
\begin{dinglist}{212}
\item Réponse 1 : $y = \np{14664,4}x + \np{87439,6}$	
\item Réponse 2 : $y = \np{16697,2}x + \np{79054,2}$
\item Réponse 3 : $y = \np{16502,6}x + \np{85288,2}$
\end{dinglist}

\item  En 2010, le nombre de pèlerins enregistrés à Compostelle fut de \np{272703}.

Le taux de variation du nombre de pèlerins enregistrés par rapport au nombre théorique issu du modèle de la régression affine est approximativement égal à (arrondi à 0,1 \%) :
\begin{dinglist}{212}
\item Réponse 1 : 69,6 \%
\item Réponse 2 : 41 \%	
\item Réponse 3 : 1,7 \%
\end{dinglist}
\end{enumerate}
\item En 2011, les pèlerins arrivant à Compostelle ont répondu à un questionnaire leur demandant les principales motivations de leur pèlerinage. Les réponses sont les suivantes :

51\,\% l'ont fait pour des raisons culturelles et religieuses ;

43\,\% l'ont fait pour des raisons strictement religieuses ; \\
6\,\% l'ont fait pour des raisons strictement culturelles.\\
De plus, on sait que 58 \% des pèlerins sont des hommes et 42 \% des femmes. \\

On choisit un pèlerin au hasard. 

On considère les évènements suivants :

$R$ : \og le pèlerin choisi a fait le chemin pour des raisons strictement religieuses \fg{} ;

$C$ : \og le pèlerin choisi a fait le chemin pour des raisons strictement culturelles \fg{} ;

$M$ : \og le pèlerin choisi a fait le chemin pour des raisons culturelles et religieuses \fg{} ; 
$H$ : \og le pèlerin choisi est un homme \fg.

\medskip

Parmi les trois diagrammes proposés ci-dessous, lequel est un arbre de probabilité susceptible de décrire la situation donnée ?

\begin{minipage}[b]{6cm}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{\small $0,43$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$H$}\taput{\small $0,7$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\tbput{\small $0,3$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\taput{\small $0,06$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$H$}\taput{\small $0,4$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\tbput{\small $0,6$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\tbput{\small $0,51$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$H$}\taput{\small $0,5$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\tbput{\small $0,5$}
}
}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{6cm}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{\small $0,43$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$H$}\taput{\small $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\tbput{\small $0,2$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\taput{\small $0,06$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$H$}\taput{\small $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\tbput{\small $0,1$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\tbput{\small $0,51$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$H$}\taput{\small $0,18$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\tbput{\small $0,12$}
}
}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{6cm}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{\small $0,43$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$H$}\taput{\small $0,8$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\tbput{\small $0,2$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\taput{\small $0,06$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$H$}\taput{\small $0,5$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\tbput{\small $0,5$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\tbput{\small $0,51$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$H$}\taput{\small $0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{H}$}\tbput{\small $0,9$}
}
}
\end{minipage}
\medskip

\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ ainsi définie : Pour tout $n \in \N$, $w_{,n+1} = 2w_n - 6$ et $w_0 = 4$.

Le terme $w_{10}$ est égal à :
\begin{dinglist}{212}
\item Réponse 1 :	12	
\item Réponse 2: $- \np{1018}$	
\item Réponse 3 : $- \np{2042}$
\end{dinglist}
\end{enumerate}
\medskip
 
\textbf{Partie B }

\medskip
Tous les résultats de la partie B seront arrondis, si nécessaire, à \np{0,0001} près.

En 2007, 38\,\% des Allemands venus en France le sont pour des raisons professionnelles, et 62\,\% pour des raisons touristiques ou personnelles.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout groupe de dix Allemands présents en France, associe le nombre de ceux venus pour des raisons professionnelles.

On suppose que le nombre d'Allemands venus en France est suffisamment grand pour assimiler le choix aléatoire de dix de ces Allemands à un tirage avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle loi suit la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse en précisant les paramètres de la loi.
\item Dix Allemands se retrouvent un soir dans une brasserie parisienne.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que neuf d'entre eux soient présents en France pour des raisons touristiques ou personnelles ?
\item Déterminer la probabilité $P(X \geqslant 1)$. Interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}
\item Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à tout Allemand présent en France, associe la distance en km qu'il aura parcourue pendant son séjour.

On admet que $Y$ suit la loi normale de moyenne $m = \np{2000}$ km et d'écart type $\sigma = 550$ km.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $P(Y \leqslant \np{3200})$ et interpréter, à l'aide d'une phrase, le résultat obtenu.
		\item  Déterminer la probabilité qu'un Allemand, choisi au hasard, parcoure en France une distance comprise entre \np{1300}~km et \np{2700}~km.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie}
\textbf{Nuage de points associé au tableau \no 1}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\resizebox{19cm}{!}{
\begin{pspicture*}(46.5,-3)(105.5,47)
\def\xmin{48} \def\xmax{104} \def\ymin{0} \def\ymax{44}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](46.5,-3)(105.5,47)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(48,0)(104,22)
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.25cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=2,Dy=4,Ox=\xmin,Oy=0]{-}(\xmin,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psdots[linewidth=2pt](51,5,3)(56,7,4)(68,19.6)(70,20.1)(74,23.7)(77,24.6)(80,25.9)(85,29.4)
\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(48,0)(105,0) \uput[d](105,0){\small $x$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(48,0)(48,45) \uput[l](48,45){\small $y$}
\end{pspicture*}
}
~\\~\\
\textbf{Tableau de valeurs}

\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering\arraybackslash}X|}} \hline 
$x$&48&51&55&60&65&70&75&80&85 \\ \hline 
$f(x)$& & & & & & & & & \\ \hline 
\end{tabularx}
~\\~~\\
\textbf{Annexe 2}\\
\textbf{Nuage de poins associé au tableau n\o 2 et courbe associée à la fonction $g$}

\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.25cm}
\begin{pspicture*}(78.5,17)(115.5,71)
\def\xmin{80} \def\xmax{114} \def\ymin{20} \def\ymax{68}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](78.5,17)(115.5,71)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(80,10)(114,34)
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.25cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=2,Dy=4,Ox=\xmin,Oy=\ymin]{-}(\xmin,\ymin)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}

\def\F{0 871 x 70 sub div sub 87.5 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{82}{116}{\F}
\psdots[linewidth=2pt](85,29.4)(90,43.5)(105,61.4)(107,62.9)(110,65.7)
\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(80,20)(115,20) \uput[d](115,20){\small $x$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(80,20)(80,70) \uput[l](80,70){\small $y$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}