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%Tapuscrit : Nicolas Baeyens
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{mai 2012}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2012~\decofourright\\Métropole  Comptabilité et gestion des organisations}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{A. Probabilités conditionnelles.}

\medskip

Un garagiste a acheté 70\,\% de son stock de pneus à un premier fournisseur et 30 \% à un deuxième fournisseur.
Il observe que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] 5\, \% des pneus provenant du premier fournisseur ont un défaut,
\item[$\bullet$] 10\,\% des pneus provenant du deuxième fournisseur ont un défaut. 
\end{itemize}

On prélève au hasard un pneu dans le stock. Tous les pneus ont la même probabilité d'être prélevés.
On considère les événements suivants :

\begin{itemize}
\item[~] $F$ : \og le pneu provient du premier fournisseur \fg{} ; 
\item[~] $G$ : \og le pneu provient du deuxième fournisseur \fg{} ;
\item[~] $D$ : \og le pneu a un défaut \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P(F)$, $P(G)$ , $P_F (D)$ et $PG (D)$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes des probabilités $P(F \cap D)$ et $P(G \cap D)$.
\item Déduire de ce qui précède que $P(D) = 0,065$.
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le pneu provienne du deuxième fournisseur sachant que le pneu choisi a un défaut. Arrondir à $10^{-4}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi binomiale.}

\medskip

Le garagiste choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus. On rappelle que la probabilité pour qu'un pneu pris au hasard ait un défaut est 0,065.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de dix pneus, associe le nombre de pneus de ce prélèvement qui présentent un défaut.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont 
on déterminera les paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'aucun pneu de ce prélèvement n'ait un défaut. Arrondir à $10^{-4}$.
\item Calculer la probabilité qu'au plus deux des pneus choisis présentent un défaut. Arrondir à $10^{-4}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale.}

\medskip

En janvier le garagiste décide de lancer une campagne promotionnelle sur les pneus. Pour cela, il envoie un courrier à 400 personnes prélevées au hasard dans sa banque de données de clients potentiels. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 400 personnes.

La probabilité pour qu'une personne, ayant reçu le courrier, vienne changer les pneus de son automobile chez ce garagiste est égale à 0,2.

On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 400 personnes (auxquelles le garagiste a envoyé un courrier) associe le nombre de personnes venues changer les pneus de son automobile chez ce garagiste.

On admet que $Y$ suit la loi binomiale de paramètres 400 et 0,2.

On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de paramètres $m = 80$ et $\sigma =8$. On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres 80 et 8.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier les valeurs de $m$ et $\sigma$.
\item Calculer $P(Z \leqslant 92,5)$.
\item Calculer la probabilité que cette campagne promotionnelle ait amené au moins 100 clients c'est à dire calculer $P(Z \geqslant 99,5)$.
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{A. Statistiques}

\medskip
Le tableau suivant donne la consommation de tabac en grammes par personne de 15 ans ou plus et par jour. \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline 
Année	&1997	&1998	&1999	&2000	&2001&	2002	&2003&	2004	&2005	&2006	&2007	&2008	&2009\\ \hline 
Rang année	&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8&	9&	10&	11	&12 \\ \hline 
Consommation de tabac (en grammes)&	4,67&	4,65&	4,59	&4,47&	4,47&	4,3	&3,77	&3,15	&3,1&	3,11	&3,03&	2,95	&2,98 \\ \hline 
\end{tabularx}										
{Source : Insee ; institut Gustave Roussy}\\~\\

Dans le plan muni d'un repère orthogonal on a représenté en annexe le nuage de points associé à la série statistique $(x_i~;~y_i)$ pour $i$ entier variant de 0 à 12.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer à l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique  $(x_i~;~y_i)$. Arrondir à $10^{-3}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression D de y en x, par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y= ax + b$ où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-4}$. 
		\item Tracer la droite $\mathscr{D}$ sur la figure de l'annexe à rendre avec la copie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur [0~;~12] par  

\[f(x) = 4,64 - 0,024x- \dfrac{1,4\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} + \np{160000}},\]

$\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal et $f^{\prime}$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f^{\prime}(x)= - 0,024 - \dfrac{448000 e^{2x} }{\left(\text{e}^{2x}+160~000\right)^2}$ pour tout $x$ de [0~;~12].
		\item  Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ lorsque $x$ varie dans [0~;~12] et établir le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter le tableau de l'annexe à rendre avec la copie dans lequel les valeurs sont à arrondir à $10^ {-2.}$
		\item Construire la courbe $\mathscr{C}$ sur la figure de la partie A.
	\end{enumerate}
\item Laquelle de la droite $\mathscr{D}$ et la courbe $\mathscr{C}$ semble le mieux ajuster le nuage de points ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Calcul intégral et application}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur [0,12] par $F(x)= 4,65x - 0,012x^2 - 0,7\ln(\text{e}^{2x} +\np{160000})$.

Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~12].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la valeur moyenne de $f$ sur [0,12] est : $V_m = 4,506 + \dfrac{7}{120}   \ln\left(\dfrac{\np{160001}}{\text{e}^{24}+\np{160000}} \right)$.
		\item Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{-1}$ de $V_m$.
	\end{enumerate}
\item On admet que $f(x)$ représente la consommation de tabac, par jour, en grammes d'une personne de 15 ans ou plus. Donner une interprétation du résultat obtenu à la question précédente.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}
\textbf{Exercice 2}

\textbf{A.}

\psset{xunit=1cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(13,6)
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{13} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.5,-0.5)(13,6)
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.5pt, gridcolor=black, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=2](0,0)(-0.5,-1)(13,12)
\psset{xunit=1cm , yunit=2cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(12,5)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(13,0) \uput[dl](13,0){\small $x$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,6) \uput[dl](0,6){\small $y$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\def\F{4.65 0.024 x mul sub 1.4 2 x mul EXP mul 2 x mul EXP 160000 add div sub}
%\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{12}{\F}
\def\G{0 0.1805 x mul sub 4.8707 add}
%\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{12}{\G}
\psdots[dotstyle=x,linewidth=4pt](0,4.67)(1,4.65)(2,4.59)(3,4.47)(4,4.47)(5,4.3)(6,3.77)(7,3.15)(8,3.1)(9,3.11)(10,3.03)(11,2.95)(12,2.98)
\endpsclip
\end{pspicture*}

\textbf{B.2)} a. 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline 
$x$&0&2&4&5&6&7&8&10&12\\ \hline
$f(x)$& & & & 4,36& & & & &  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{document}