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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{mai 2011}}
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\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}
 
Un grossiste spécialisé dans le jardinage reçoit des sachets de graines d'aubergines \og bio \fg{} (c'est-à-dire issues de l'agriculture biologique).

\medskip
 
\textbf{A. Évènements indépendants, probabilités conditionnelles}

\medskip

Le grossiste reçoit ces sachets en grande quantité.
 
Chaque sachet peut présenter deux défauts notés respectivement \og a \fg{} et \og b \fg.

Le défaut \og a \fg{} consiste en la présence de désherbants chimiques.
 
Le défaut \og b \fg{} consiste en la présence de pesticides.
 
On prélève un sachet au hasard dans une importante livraison. 

L'évènement \og le sachet présente le défaut \og a\fg{} est noté $A$ et l'évènement \og le sachet présente le défaut \og b \fg{} est noté $B$.
 
Des études statistiques ont permis d'établir que $P(A) = 0,02$ et $P(B) = 0,03$. On suppose que ces deux évènements sont indépendants.
 
\begin{enumerate}
\item On note $E_{1}$ l'évènement : \og le sachet présente les deux défauts \og a \fg{} et \og b \fg{\fg}. 

Calculer $P\left(E_{1}\right)$. 
\item  On dit qu'un sachet est défectueux s'il présente au moins un des deux défauts.
 
On note $E_{2}$ l'évènement: \og le sachet est défectueux \fg.

Calculer $P\left(E_{2}\right)$. 
\item  On note $E_{3}$ l'évènement : \og le sachet ne présente aucun défaut \fg.
 
Calculer $P\left(E_{3}\right)$. 
\item  Calculer la probabilité que le sachet présente les deux défauts sachant qu'il est défectueux.
 
Le résultat sera arrondi à $10^{-4}$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Dans tout ce qui suit, les probabilités sont à arrondir à}\, \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath

\bigskip
 
\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip
 
On note $D$ l'évènement \og un sachet prélevé dans un stock important est défectueux \fg. On suppose que $P(D) = 0,05$.
 
On prélève au hasard 40 sachets pour vérification, le stock étant assez important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout prélèvement de 40~sachets associe le nombre de sachets défectueux. 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité pour que dans un tel prélèvement, il y ait exactement 2~sachets défectueux. 
\item  Calculer la probabilité pour que dans un tel prélèvement, il y ait au moins un sachet défectueux. 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{C. Loi normale}

\medskip
 
On s'intéresse dorénavant à la masse d'un sachet.
 
La variable aléatoire $Y$ qui à chaque sachet associe sa masse en grammes est notée $Y$.

On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne $120$ et d'écart-type $8$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(Y \geqslant 104)$. 
\item  Un sachet dont la masse en grammes n'est pas dans l'intervalle [104~;~136J est rejeté. Calculer la probabilité qu'un sachet soit rejeté.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{A. Étude d'une fonction}

\medskip
 
La fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(t) = 	\dfrac{1}{1 + 4,9\text{e}^{- 0,125t}}.\]
  
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5 sur l'axe des abscisses et 10~cm sur l'axe des ordonnées). 
\begin{enumerate}
\item On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,125t}  = 0$. Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. 

En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $D$ dont on donnera une équation.
\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats \`a $10^{- 2}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0	&5	&10	&15	&20	&25	&30\\ \hline% 
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline% 
\end{tabularx} 

\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de $f$ et vérifier que $f'(t) = \dfrac{\np{0,6125}\text{e}^{- 0,125t}}{\left(1 + 4,9\text{e}^{- 0,125t} \right)^2}$. 
		\item Établir le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $D$. 
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(t) = 0,5$. Faire apparaître les traits utiles sur le graphique.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Valeur moyenne}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item On admet que $f(t) = \dfrac{\text{e}^{0,125t}}{4,9 + \text{e}^{0,125t}}$.
 
Vérifier que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(t) = 8\ln\left(4,9 + \text{e}^{0,125t} \right)$ est une primitive de $f$. 
\item Démontrer que la valeur moyenne de $f$ sur $[10~;~20]$ est : $\text{V}_{m} = 0,8 \ln \left(\dfrac{4,9 + \text{e}^{2,5}}{4,9 + \text{e}^{1,25}}\right)$.  
\item Donner une valeur approchée de V$_{m}$ à $10^{-3}$ près. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Applications des parties A et B}

\medskip
 
Une étude statistique a établi qu'à partir de l'année 1990, le pourcentage des ménages équipés d'un four à micro-ondes, dans un département, est donné approximativement par la formule : 

\[f(t) = \dfrac{1}{1 + 4,9\text{e}^{- 0,125t}}\,\text{où}\, t\, \text{désigne le nombre d'années écoulées depuis 1990}.\] 
 
Par exemple $f(0) \approx  0,17$ ; en 1990 il y avait 17\,\% des ménages équipés d'un four à micro-ondes. 
\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage des ménages ayant cet équipement en 2010.
 
\textbf{Le résultat sera arrondi à}\,\boldmath $10^{-2}$ \unboldmath
\item Déduire de la partie A., l'année à partir de laquelle 50\,\% des ménages sont équipés d'un four à micro-ondes. 
\item À l'aide d'une phrase, interpréter le résultat obtenu au 3. de la partie B. 
\end{enumerate}
\end{document}