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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\lfoot{\small{Métropole}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2008~\decofourright\\ Comptabilité et gestion des organisations}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{A. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par
 
\[f(x) = \dfrac{3}{1 + \np{125504}\text{e}^{-1,9x}}.\]
	
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} où l'unité est 2~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On admet que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \left (\np{125504}\text{e}^{-1,9x}\right) =  0$ ; en déduire $\displaystyle\lim_{x \to  + \infty} f(x)$.
		\item  En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de $[0~;~ + \infty[$,~ $f'(x) =	 \dfrac{\np{715372,8}\text{e}^{-1,9x}}{\left(1 + \np{125504}\text{e}^{-1,9x}\right)^2}$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans $[0~;~ + \infty[$.
		\item  Donner le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$.\\
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&3		&4	&5	&6	&7	&8	&9\\ \hline
$f(x)$	&0	&0,01	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère défini au début. Sur l'axe des abscisses, commencer la graduation à 3.
	\end{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 2,5$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ de $[0~;~ + \infty[$,~$f(x) = \dfrac{3\text{e}^{1,9x}}{\text{e}^{1,9x} + \np{125504}}$.

\item  Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{3}{1,9}\ln \left(\text{e}^{1,9x} + \np{125504}\right)$.\\
Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la valeur moyenne $V_{m}$ de $f$ sur [0~;~9].	
		\item  Donner la valeur approchée de $V_{m}$  arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Application de la partie A}

\begin{center}
\textbf{Dans cette partie, utiliser des résultats obtenus à la partie A.}
\end{center}
 
\medskip 

On admet que le nombre de systèmes GPS vendus en France au cours de l'année $(2000 + n)$ est égal à $f(n)$ millions où $f$ est la fonction définie dans la partie A.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le nombre de systèmes GPS vendus en France en 2005.

\item  Donner le nombre total de systèmes GPS vendus pendant les quatre années 2004, 2005, 2006 et 2007.

\item  Indiquer au cours de quelle année les ventes de systèmes GPS dépassent \np{2500000}~unités.
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
\end{center}

Dans cet exercice on s'intéresse aux factures comptabilisées chaque mois dans un grand garage.

\medskip

\textbf{A. Loi binomiale}

\begin{center}
\textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath  $10^{-2}$. \unboldmath
\end{center}

À la fin d'un mois donné, on considère une liasse importante de factures.\\
On note $E$ l'évènement : \og une facture prélevée au hasard dans la liasse de factures est erronée. \fg

On suppose que $P(E) = 0,03$.

On prélève au hasard 20~factures dans la liasse pour vérification. La liasse contient assez de factures pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20~factures.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de factures de ce prélèvement qui sont erronées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item  Calculer la probabilité qu'aucune facture de ce prélèvement ne soit erronée.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux factures soient erronées.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Loi normale}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath  $10^{-2}$. \unboldmath
\end{center}

À la fin d'un autre mois, on s'intéresse au montant de l'ensemble des factures éditées pendant ce mois.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque facture prélevée au hasard dans l'ensemble des factures éditées pendant le mois, associe son montant en euros. On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $840$ et d'écart type $400$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $P(Y \leqslant  1500)$.
\item  Pour les factures dont le montant est supérieur ou égal à $600$ euros et inférieur ou égal à \np{1500}~euros, le garage propose le paiement en trois fois sans frais.

Calculer la probabilité qu'une facture prélevée au hasard dans l'ensemble des factures éditées pendant le mois puisse être réglée en trois fois sans frais, c'est-à-dire : $P(600 \leqslant  Y \leqslant  \np{1500})$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{C. Probabilités conditionnelles}

\medskip

Les factures du garage sont de deux types : les factures provenant de l'atelier de mécanique et les factures provenant de l'atelier de carrosserie.

On admet, qu'un autre mois, 65\:\% des factures proviennent de l'atelier de mécanique et le reste de l'atelier de carrosserie.

Dans l'ensemble des factures de ce mois, 2\:\% des factures provenant de l'atelier de mécanique sont erronées et 1\:\% des factures provenant de l'atelier de carrosserie sont erronées.

On prélève au hasard une facture dans l'ensemble des factures de ce mois. Toutes les factures ont la même probabilité d'être prélevées.

On considère les évènements suivants  :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $M$ : \og la facture prélevée provient de l'atelier de mécanique \fg{} ;
\item[] $C$ : \og la facture prélevée provient de l'atelier de carrosserie \fg{} ;
\item[] $D$ : \og la facture est erronée \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
     
\begin{enumerate}
\item Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P(M),~ P(C),~P_{M}(D)$ et $P_{C}(D)$.

(\emph{On rappelle que $P_{M}(D) = P(D/M)$ est la probabilité de l'évènement D sachant que l'évènement est réalisé}).
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les valeurs exactes des probabilités $P(D \cap M)$ et $P(D \cap C)$. 
		\item  Déduire de ce qui précède $P(D)$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la facture prélevée provienne de l'atelier de carrosserie sachant qu'elle est erronée. Arrondir à $10^{-4}$.
\end{enumerate}
\end{document}