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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{octobre 2002}}
\lfoot{\small Nouvelle-Calédonie}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright \\ Comptabilité et gestion des organisations session 2003\\
Nouvelle Calédonie octobre 2002}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill}

\medskip

\textbf{Partie A : étude mathématique} 

\medskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle [1~;~6] respectivement par : 

\[f(t) =   6 - \dfrac{9}{t  + 2}\quad \text{et} \quad  
g(t)  = \dfrac{21}{ 	5+ \text{e}^{-0,8t}}.\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni du repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2 cm pour 1 unité en abscisse, et 10 cm pour 1 unité en ordonnée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~6]. En déduire le sens de variation de $f$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~6], 
		
		$g'(t) = \dfrac{16,8\text{e}^{-0,8t}}{\left( 5 + \text{e}^{-0,8t} \right)^2}$.
		\item  En déduire le sens de variations de $g$.
	\end{enumerate} 
\item Sur la feuille donnée en annexe,  compléter le tableau de valeurs de $f$ et $g$ (les valeurs de $f(t)$ et $g(t)$ seront arrondies à $10^{-2}$).
 
Construire les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. 
\item Résoudre algébriquement l'inéquation $g(t)  \geqslant 4,15$. On donnera la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de la borne inférieure de l'intervalle des solutions. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Donner une primitive de $f$ sur l'intervalle [1~;~6] .
		\item  Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~6],  $g(t) =  \dfrac{21\text{e}^{0,8t}}{5\text{e}^{0,8t}+ 1}$. 
		
En déduire une primitive de $g$ sur l'intervalle [1~;~6]. 
		\item  Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{1}^6 f(t)\:\text{d}t$.
ri, 
		\item  Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{1}^6 g(t)\:\text{d}t$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B : utilisation de certains résultats pour une étude économique}

\medskip
 
Un groupe distribuant une marque d'un certain produit lance un plan de réorganisation de l'implantation des points de vente de cette marque sur une période de 6 ans. Ce plan entraîne pendant cette période d'une part, des fermetures de points de vente et d'autre part, des ouvertures de nouveaux points de vente.

\medskip
 
Une étude a montré que $f$ modélise le nombre, exprimé en centaines, d'ouvertures et $g$ le nombre, exprimé en centaines, de fermetures de points de vente. 

Ainsi,  $f(1)$ représente le nombre d'ouvertures au cours de la 1\up{re} année,

$f(2)$ représente le nombre d'ouvertures au cours de la 2\up{e} année,
  
$f(t)$ représente le nombre d'ouvertures au cours de la $t$\up{e} année ($1 \leqslant  t \leqslant  6$). 

De même, $g(t)$ représente le nombre de fermetures au cours de la $t$\up{e} année 

($1 \leqslant  t \leqslant  6$). 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  L'année précédant le lancement du plan, \nombre{4150}~points de vente étaient implantés en France.
 
Déterminer graphiquement, au cours de quelle année le nombre de points de vente fermés dans l'année dépasse 10\,\% de l'effectif initial.

On fera figurer sur le graphique les traits de construction utiles. 
\item  Déterminer graphiquement, l'année au cours de laquelle le nombre de points de vente ouverts devient supérieur au nombre de points de vente fermés.
\item  Expliquer comment on pourrait obtenir le nombre total de points de vente de la marque à la fin du plan de réorganisation.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2} 

\medskip

Un éditeur scolaire produit en grande série un CD-Rom de sujets d'examens de mathématiques corrigés, à l'intention des étudiants des sections de techniciens supérieurs. Au cours de la fabrication de ce produit, deux défauts peuvent se produire :
\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item  le défaut $a$ au cours de l'impression de la jaquette ; 
\item  le défaut $b$ au cours de l'enregistrement des données. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties A. B et C peuvent être traitées de manière indépendante} 
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}
 
\medskip
 
On noté $A$ l'évènement « le CD-Rom présente le défaut $a$ ». Une étude a montré que $p(A) = 0,08$. 
\begin{enumerate}
\item  On prélève au hasard successivement 50~CD-Roms dans le stock On admet que le stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~CD-Roms. 

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50 CD-Roms, associe le nombre de CD-Roms présentant le défaut $a$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale. En déterminer les paramètres. 
		\item  Calculer les probabilités, arrondies à $10^{- 2}$ près, des événements suivants :
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item « parmi les 50 CD-Roms, exactement cinq présentent le défaut $a$ ». 
\item « parmi les 50 CD-Roms, deux au moins présentent le défaut $a$ ».
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate} 
\item Le prix de vente unitaire prévu d'un CD-Rom est 18~euros. L'éditeur effectue une réduction de 15\,\% sur le prix de vente prévu pour les CD-Roms présentant le défaut $a$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$. Que représente $E(X)$ ? 
		\item  Déduire de la question a.  la recette moyenne, arrondie à un euro, que l'éditeur peut espérer de la vente de 50~CD-Roms.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans cette partie, les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près} 

\medskip

Les CD-Roms présentant le défaut $b$ sont considérés comme défectueux. Lorsqu'un client se trouve en possession d'un CD-Rom défectueux, il doit le renvoyer au service après-vente de l'éditeur qui en échange, lui fait parvenir un autre CD-Rom en remplacement. 

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque client concerné prélevé au hasard, associe le nombre de jours séparant la date de renvoi du CD-Rom défectueux au service après-vente et la date de réception du CD-Rom de remplacement.
 
On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne 8 et d'écart type 2,75.
 
On admet qu'un client se déclare satisfait par le service après-vente si son délai d'attente ne dépasse pas 10  jours et mécontent si ce délai dépasse 14 jours.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'un client concerné soit satisfait du service après-vente. 
\item  Calculer la probabilité qu'un client concerné soit mécontent du service après-vente. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\emph{L'éditeur met en place des services après-vente décentralisés.}

\emph{Dans cette partie, on s'intéresse à un service après-vente donné.}

\emph{Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près}

\medskip
 
Pendant une période donnée, on a relevé le délai d'attente, en jours, de chaque client de ce service après-vente.

 Pour un échantillon de 100~clients prélevés au hasard et avec remise dans l'ensemble des clients de ce service  pendant la période considérée, on constate que la moyenne des délais d'attente est $\overline{x} = 9$ et  que l'écart-type $s$ des délais d'attente est $s = 2,80$. 
\begin{enumerate}
\item  À partir des informations portant sur cet échantillon,  donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$ et de l'écart type $\sigma$ des délais d'attente de l'ensemble des clients de ce service  pendant la période considérée. 
\item  Soit $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~clients prélevés au hasard et avec remise dans l'ensemble des clients de ce service pendant la période considérée, associe la moyenne des délais d'attente, en jours, des clients de ce service. 

On suppose que $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}$. On prendra pour $\sigma$ l'estimation ponctuelle fournie à partir de l'échantillon de la question 1. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer un intervalle de confiance centré en 9 de la moyenne $\mu$ des délais d'attente des clients de ce service avec le coefficient de confiance $95$\,\%. 
		\item  Ce service peut-il affirmer que la moyenne des délais d'attente ne dépasse pas 10 jours ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie} \end{center}

\vspace{0,5cm}

Tableau de valeurs à compléter :

\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&1&2&3&4&5&6\\ \hline
$f(t)$&&&&&&\\ \hline
$g(t)$&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1,5cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=9cm}
\begin{pspicture}(0,3)(8,5)
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\end{document}