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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\small Nouvelle--Calédonie}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{octobre 2008}}
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\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur session 2008\\ Comptabilité et gestion des organisations\\
Nouvelle--Calédonie}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{A. Étude d'une fonction}
 
\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [4~;~20] par
 
\[f(x) =  20 - 3x + 6 \text{e}^{0,12x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal où l'unité est 1~cm pour 2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de [4~;~20],
		
$ f'(x) =  3\left(-1 + 0,24\text{e}^{0,12x}\right)$.
		\item  Résoudre dans [4~;~20] l'équation : $-1 + 0,24\text{e}^{0,12x} = 0$.
Donner la valeur exacte de la solution $x_{0}$, puis sa valeur approchée arrondie à $10^{-2}$.
		\item  Résoudre dans [4~;~20] l'inéquation : $-1 + 0,24\text{e}^{0,12x} \geqslant 0$.
		\item  Déduire du c. le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans [4~;~20].
	\end{enumerate}
\item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-2}$.\\
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&4	&8	&11,89&16	&18 	&20\\ \hline
$f(x)$	&	&	&9,32	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\item Établir le tableau de variations de $f$. Dans ce tableau, on fera figurer les valeurs approchées de $x_{0}$ et $f\left(x_{0}\right)$ obtenues dans le tableau ci-dessus.
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère défini au début de cette partie.
\item Résoudre graphiquement dans [4~;~20] l'équation $f(x) = 20$. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\emph{B. Calcul intégral}
 
\medskip

On note $I = \displaystyle\int_{4}^{20} f(x)\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que $I = 50\left(\text{e}^{2,4} - \text{e}^{0,48} \right) - 256$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  En déduire la valeur moyenne $V_{m}$ de la fonction $f$ sur [4~;~20]. 
		\item  Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$  de $V_{m}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\emph{C. Application de la partie A}
 
\medskip
 
Une entreprise produit, chaque jour, entre 4 et 20~tonnes de sel pour l'industrie. On admet que lorsque $x$ tonnes de sel sont produites, avec $4 \leqslant  x \leqslant 20$, le coût moyen de la production d'une tonne de sel est $f(x)$ dizaines d'euros, où $f$ est la fonction définie au début de la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la quantité de sel à produire pour que le coût moyen de production d'une tonne de sel soit minimal. Déterminer alors ce coût moyen en euros.
\item Déterminer la quantité de sel qu'il faut produire pour que le coût moyen de production d'une tonne de sel soit de 200~euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes} \end{center}

Dans une société, on assemble et on installe un certain type d'équipement informatique pour les sièges sociaux de grandes entreprises.

\medskip

\emph{A Probabilités conditionnelles}
 
\medskip
 
L'un des éléments de l'équipement, noté élément $a$, provient de deux fournisseurs, le fournisseur 1 et le fournisseur 2.

75\,\% des éléments $a$ d'un stock important proviennent du fournisseur 1, le teste, provient du fournisseur 2.
 
1\,\% des éléments $a$ provenant du fournisseur 1 sont défectueux.

2\,\% des éléments $a$ provenant du fournisseur 2 sont défectueux.

On prélève au hasard un élément $a$ dans le stock.

Tous les éléments $a$ ont la même probabilité d'être prélevés.

On considère les évènements suivants  :
\begin{itemize}
\item[] $F_{1}$ : \og  l'élément prélevé provient du fournisseur 1 \fg{} ;
\item[] $F_{2}$ :  \og l'élément prélevé provient du fournisseur 2 \fg{} ;
\item[] $D$ : \og l'élément prélevé est défectueux \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P\left(F_{1}\right),~ P\left(F_{2}\right),\\P_{F_{1}}(D)$ et $P_{F_{2}}(D)$.\\
(On rappelle que $P_{F_{1}}(D) = P\left(D / F_{1}\right)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $F_{1}$ est réalisé).
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les valeurs exactes des probabilités $P\left(D \cap  F_{1}\right)$ et $P\left(D \cap  F_{2}\right)$.
		\item En déduire la probabilité que l'élément prélevé soit défectueux.
 	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que l'élément provienne du fournisseur 1 sachant qu'il est défectueux.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\emph{B Loi binomiale}

\begin{center} 
\textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à}\boldmath  $10^{-2}$ \unboldmath \end{center}

Dans cette question on s'intéresse à un autre élément de l'équipement, noté $b$.
 
On considère un lot important d'éléments $b$.

On note $E$ l' évènement \og un élément $b$ prélevé au hasard dans le lot est défectueux \fg.

On suppose que $P(E) =  0,025$.

On prélève au hasard 20~éléments $b$ dans le lot pour vérification. Le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20~éléments $b$.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre d'éléments $b$ de ce prélèvement qui sont défectueux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement deux éléments $b$ défectueux.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins deux éléments $b$ défectueux.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Lois normales}
 
\medskip
 
Dans cette partie on s'intéresse au temps nécessaire pour la mise en service du système constitué par un élément $a$ et un élément $b$.

On note $Y_{a}$ la variable aléatoire qui, à chaque élément $a$ prélevé au hasard dans un stock important d'éléments $a$, associe le temps, en heures, nécessaire à sa mise en service.

On admet que la variable aléatoire $Y_{a}$ suit la loi normale de moyenne 22 et d'écart type 3.

On note $Y_{b}$ la variable aléatoire qui, à chaque élément $b$ prélevé au hasard dans un stock important d'éléments $b$, associe le temps, en heures, nécessaire à sa mise en service.

On admet que la variable aléatoire $Y_{b}$ suit la loi normale de moyenne 25 et d'écart type 4.

 On admet que les deux variables aléatoires $Y_{a}$ et $Y_{b}$ sont indépendantes.
 
On note $Z$ la variable aléatoire qui à tout système constitué par un élément $a$ et un élément $b$ prélevés au hasard dans les stocks, associe le temps nécessaire, en heures, à sa mise en service.

On admet que $Z =  Y_{a} + Y_{b}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale de moyenne~47 et d'écart type~5.

\item  Déterminer la probabilité qu'un système constitué par un élément $a$ et un élément $b$ prélevés au hasard dans les stocks, soit mis en service en moins de 50~heures.

Arrondir à $10^{-3}$.
\end{enumerate}
\end{document}