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%Tapuscrit : Denis Vergès Sujet aimablement fourni par Nathalie Mignot
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.} }
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie novembre 2011}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2011~\decofourright\\Comptabilité et gestion des organisations\\
Nouvelle--Calédonie}}

\medskip

\textbf{Durée : 2 heures}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip
 
On jette un dé non truqué, la partie est gagnée si on obtient un 5 ou un 6. On joue 50 parties de suite.

\begin{center} 
\textbf{Dans cet exercice les résultats approchés sont à arrondir à }\:\boldmath $10^{-2}$\unboldmath \end{center}

\emph{A. 	Loi binomiale }

\medskip

On considère la variable aléatoire $X$ qui associe le nombre de parties gagnées au cours d'une suite de 50~parties.
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement E : \og on gagne 15 parties \fg. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement F: \og on gagne 15, ou 16, ou 17 parties \fg.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{B. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}

\medskip
 
On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par la loi normale de moyenne 

$m = \dfrac{50}{3}$ et d'écart type $\sigma = \dfrac{10}{3}$. 

On note $Y$ une variable aléatoire suivant cette loi normale.
 
\begin{enumerate}
\item Justifier le choix des valeurs de $m$ et de $\sigma$. 
\item Justifier que $P(Y \geqslant  17,5)$ est une approximation de la probabilité de l'évènement : \og le nombre de parties gagnées est au moins égal à 18 \fg. 
\item Donner une valeur numérique de $P(Y \geqslant  17,5)$ arrondie à $10^{-2}$. 
\item En déduire une valeur approchée de la probabilité de l'évènement : \og le nombre de parties gagnées est compris entre 15 et 17\fg. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

\emph{A. 	Étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~15] par 

\[f (x) = 0,2x + 1 + \text{e}^{-0,2x + 1}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout $x$ de [0~;~15]. 
		\item Résoudre dans [0~;~15] l'inéquation : $1 - \text{e}^{-0,2x + 1}\geqslant 0$. 
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur [0~;~15].
	\end{enumerate} 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré \textbf{à rendre avec la copie.} 
\item On note $I= \displaystyle\int_{5}^{15} f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $I = 35 - 5 \text{e}^{-2}$. 
		\item En déduire la valeur moyenne $V_{m}$ de $f$ sur [5~;~15]. 
		\item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $V_{m}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\emph{B. 	Application économique}

\medskip
 
Une entreprise fabrique du matériel informatique.
 
Lorsqu'elle fabrique $x$ centaines d'objets d'un certain type $(5 \leqslant x \leqslant 15)$, le coût total de production, en milliers d'euros, est modélisé par $f(x)$, où $f$ est la fonction définie à la partie A. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer le coût total de production en milliers d'euros: 
	\begin{enumerate}
		\item de \np{1000}~objets; 
		\item de \np{1100}~objets. 
	\end{enumerate}
Au a. et au b., arrondir à $10^{-3}$.	 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $f(11) - f(10)$· 
		\item $f(11) - f(10)$ représente la dépense occasionnée par la production d'une centaine d'objets supplémentaires lorsqu'on a déjà fabriqué dix centaines d'objets. 
	\end{enumerate}

Plus généralement, $f(x + 1) - f(x)$ représente la dépense occasionnée par la production d'une centaine d'objets supplémentaires lorsqu'on a déjà fabriqué $x$ centaines d'objets.
 
En économie, on note $f(x + 1) - f(x) = C_{m}(x)$ et $C_{m}(x)$ s'appelle le \og \emph{coût marginal au rang} $x$ \fg.
 
On prend $f^{\prime}(x)$ comme approximation de $C_{m}(x)$, où $f^{\prime}$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
En déduire, en milliers d'euros, la valeur approchée, arrondie à $10^{-3}$, du coût de production de la onzième centaine d'objets en utilisant la fonction dérivée de $f$.
 
Vérifier que les résultats obtenus au a. et au b. ne diffèrent que de 7 euros. 
\item On suppose que tous les objets produits sont vendus.
 
Chaque centaine d'objets est vendue $0,4$~milliers d'euros. La recette pour $x$ centaines d'objets vendus est donc donnée par $g(x) = 0,4x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $\Delta$ d'équation $y = 0,4x$ sur le graphique précédent. 
		\item Par lecture graphique, indiquer la production $x_{0}$ à partir de laquelle l'entreprise réalise un bénéfice.
		 
On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}