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%Tapuscrit : Denis Vergès Sujet aimablement fourni par Nathalie Mignot
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\small Nouvelle--Calédonie}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2009~\decofourright\\ Comptabilité et gestion des organisations\\
Nouvelle--Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse à la fabrication, dans une usine d'un grand groupe de l'industrie automobile, d'un certain modèle de véhicules à \og moteur hybride \fg.
 
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{- 2}$.

\medskip
 
\emph{A. Loi binomiale}

\medskip
 
Dans cette question on s'intéresse à un stock important de véhicules sortis des chaînes de montage de l'usine.
 
On appelle \og véhicule défectueux \fg{} un véhicule possédant au moins un défaut. Il y a \og beaucoup \fg{} de défauts possibles à la sortie d'une chaîne de montage.
 
On note $E$ l 'évènement : \og un véhicule prélevé au hasard dans le stock est défectueux \fg. On suppose que $P(E) = 0,2$.
 
On prélève au hasard 20~véhicules dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 véhicules.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de véhicules défectueux de ce prélèvement.
 
\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item  Calculer la probabilité qu'un seul véhicule de ce prélèvement soit défectueux. 
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un véhicule soit défectueux.
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{B. Loi normale}

\medskip
 
Dans cette partie, on s'intéresse au coût de remise en état des véhicules présentant un certain type de défaut. On considère la variable aléatoire $C$ qui à chaque véhicule prélevé au hasard dans une grande série de véhicules présentant ce type de défaut associe le coût, en euros, de sa remise en état.
 
On suppose que la variable aléatoire $C$ suit la loi normale de moyenne 500 et d'écart type 200.
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $P(C \leqslant 700)$. 
\item  Calculer la probabilité que la remise en état d'un véhicule prélevé au hasard dans la série des véhicules présentant ce type de défaut coûte entre 200 et 800~euros. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{C. Probabilités conditionnelles}

\medskip 
Les véhicules proviennent de deux ateliers notés $a$ et $b$.
 
On admet que pendant un mois donné, l'atelier a produit 40\:\% des véhicules et que le reste est produit par l'atelier $b$.
 
On admet que 10\:\% des véhicules provenant de l'atelier $a$ sont défectueux et que 15\:\% des véhicules provenant de l'atelier $b$ sont défectueux.
 
On prélève au hasard un véhicule dans l'ensemble de la production du mois des deux ateliers. Tous les véhicules ont la même probabilité d'être prélevés.
 
On considère les évènements suivants : 

$A$ : \og le véhicule prélevé provient de l'atelier $a$ \fg{} ;

$B$ : \og le véhicule prélevé provient de l'atelier $b$ \fg{} ;

$D$ : \og le véhicule prélevé est défectueux \fg.
 
\begin{enumerate}
\item  Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités $P(A),~ P(B),~P_{A}(D)$ et $P_{B}(D)$.
 
(On rappelle que $P_{A}(D) = P(D / A)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les valeurs exactes des probabilités $P(D \cap A)$ et $P(D \cap B)$.
		\item  En déduire $P(D)$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la probabilité qu'un véhicule provienne de l'atelier $a$ sachant qu'il est défectueux.
 
Arrondir à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
 
\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{A. Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur [6~;~30] par
\[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 36\ln x + 150.\] 

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij. On prendra  comme unités graphiques : 1~cm pour 5 sur l' axe des abscisses et 1 cm pour 100 sur l'axe des ordonnées.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de [6~;~30], $f'(x) = \dfrac{(x - 6)(x + 6)}{x}$.
 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans [6~;~30]. 
		\item Donner la tableau de variation de $f$ sur [6~;~30].
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter, après l'avoir reproduit sur la copie, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à l'unité.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ &6 &10 &15 &20 &25 &30 \\ \hline% 
$f(x)$&&&&&&  \\ \hline% 
\end{tabularx}

\medskip

		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère défini au début. 
		\item Tracer sur la figure du b. la droite $\Delta$ d'équation $y = 22,5 x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{B. Calcul intégral}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Soit $H$ la fonction définie sur [6~;~30] par $H(x) = x \ln x - x$.

Démontrer que $H$ est une primitive sur [6~;~30] de la fonction $h$ définie par $h(x) = \ln x$. 
\item Déduire du a. une primitive $F$ sur [6~;~30] de la fonction $f$ définie dans la partie A. 
\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $I = \displaystyle\int_{6}^{30}  f(x)\:\text{d}x$.
 
Démontrer que $I = \nombre{8928} - \nombre{1080} \ln 30 + 216 \ln 6$. 
		\item En déduire la valeur moyenne $V_{m}$ de $f$ sur [6~;~30]. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\emph{C. Application économique}

\medskip
 
On s'intéresse à une entreprise qui fabrique  et commercialise un certain type d'articles.
 
On admet que le coût total de production pour $x$ articles produits, avec $6 \leqslant  x \leqslant 30$, est $f(x)$~euros, où $f$ est la fonction définie dans la partie A.
 
\begin{enumerate}
\item  Chaque article fabriqué est vendu $22,50$~euros. Déterminer en fonction de $x$ la recette $r(x)$, en euros, pour $x$ articles vendus. 
\item  Déterminer le bénéfice en euros pour 20~articles fabriqués et vendus. 
\item  À l'aide du graphique réalisé dans la partie A, déterminer pour quelle valeur de $x$ le bénéfice est maximal. 
\end{enumerate}
\end{document}