%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[frenchb]{babel} \begin{document} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \rhead{\small Nouvelle--Calédonie} \lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}} \rfoot{\small{novembre 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2007~\decofourright\\ Comptabilité et gestion des organisations\\ Nouvelle--Calédonie}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points} \medskip \emph{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip \textbf{A Ajustement affine} \medskip Une étude a été réalisée sur le solde moyen des comptes courants d'entreprises clientes d'un important groupe bancaire. Les résultats de cette étude sont donnés dans le tableau suivant : $x$ désigne un montant en centaines de milliers d'euros, $n$ désigne le nombre de milliers d'entreprises qui ont un compte courant dont le solde est supérieur ou égal à $x$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$&0,3 &0,6 &0,9 &1,2 &1,5 &2 \\ \hline $n$&1,81&0,79 &0,32 &0,15 &0,078 &0,031\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter après l'avoir reproduit le tableau suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-3}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$&0,3 &0,6 &0,9 &1,2 &1,5 &2\\ \hline $n$&1,81 &0,79 &0,32 &0,15 &0,078 &0,031\\ \hline $z = \ln n$&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ sous la forme $z = ax + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-2}$. \item En déduire une expression de $n$ en fonction de $x$ de la forme $n = \alpha\text{e}^{kx}$ où la constante $k$ sera arrondie à $10^{-2}$. \item À l'aide du résultat du \textbf{3}, donner une estimation du nombre d'entreprises dont le compte courant a un solde moyen supérieur ou égal à \nombre{250000}~euros. \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 3,2 \text{e}^{-2,4x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. L'unité est 5~centimètres. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. \item Que peut-on déduire du résultat du \textbf{a} pour la courbe $\mathcal{C}$ ? \end{enumerate} \item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$. \item \begin{enumerate} \item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à 10 \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 0,2 & 0,5& 1& 1,5& 2\\ \hline $f(x)$&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre par le calcul, dans $[0~;~ + \infty[$, l'équation $f(x) = 0,60$.\\ Donner la valeur exacte de la solution $x_{0}$ puis la valeur approchée de $x_{0}$ arrondie a $10^{-2}$. \item Retrouver graphiquement le résultat du \textbf{4. a.}. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Application} \medskip On admet maintenant que, lorsque $0,1 \leqslant x \leqslant 2,5$, il y a \nombre{1000}$f(x)$ entreprises possédant un compte courant dont le solde moyen est supérieur ou égal à $x$ centaines de milliers d'euros dans le groupe bancaire évoqué dans la partie A. \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre d'entreprises dont le compte courant a un solde moyen supérieur ou égal à \nombre{50000}~euros. \item Déterminer le nombre d'entreprises dont le compte courant a un solde moyen compris au sens large entre \nombre{50000} et \nombre{100000} euros. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip \emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip Un atelier produit en grande série des pièces destinées à l'équipement informatique. \medskip \textbf{A. Probabilités conditionnelles} \medskip L'atelier utilise deux machines M$_{1}$ et M$_{2}$. La fabrication est répartie entre les deux machines. La machine M$_{1}$ fabrique 80\:\% des pièces dont 1\:\% sont défectueuses et la machine M$_{2}$ fabrique 20\:\% des pièces dont 2\:\% sont défectueuses. On prélève au hasard une pièce dans la production d'une journée. On désigne par D l'évènement: \og la pièce est défectueuse \fg{} ; par A l'évènement : \og la pièce a été fabriquée par la machine M$_{1}$ \fg{} et par B l'évènement : \og la pièce a été fabriquée par la machine M$_{2}$ \fg. \begin{enumerate} \item Déduire des informations figurant dans l'énoncé $P$(A), $P$(B), $P_{\text{A}}(\text{D})$ et $P_{\text{B}}(\text{D})$. (On rappelle que $P_{\text{A}}(\text{D}) = P(\text{D}/\text{A})$ est la probabilité de l'évènement D sachant que l'évènement A est réalisé.) \item \begin{enumerate} \item Calculer $P(\text{A} \cap \text{D})$ et $P(\text{B} \cap \text{D})$. \item En déduire $P$(D). \end{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une pièce ait été fabriquée par la machine M$_{1}$ sachant qu'elle est défectueuse. Arrondir à $10^{-2}.$ \end{enumerate} \medskip \textbf{B. Loi binomiale} \medskip On admet dans cette partie que $P(\text{D}) = 0,012$. On prélève au hasard pour vérification 50~pièces dans un stock important. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~pièces. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque prélèvement de ce type associe le nombre de pièces défectueuses de ce prélèvement. \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux pièces exactement soient défectueuses. Arrondir à $10^{-2}.$ \item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux pièces soient défectueuses. Arrondir à $10^{-2}.$ \end{enumerate} \medskip \textbf{C. Loi normale} \medskip Dans cette question on s'intéresse à la masse des pièces. On prélève une pièce au hasard dans un lot important. On admet que la variable aléatoire $Y$ qui à chaque pièce de ce lot associe sa masse en kilogrammes suit la loi normale de moyenne $2$ et d'écart type $0,1$. \begin{enumerate} \item Calculer $P(2 \leqslant Y \leqslant 2,1)$. Arrondir à $10^{-2}.$ \item Calculer $P(Y \geqslant 2)$. \end{enumerate} \end{document}