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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\small Nouvelle--Calédonie}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2007~\decofourright\\ Comptabilité et gestion des organisations\\
Nouvelle--Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{A  Ajustement affine}

\medskip

Une étude a été réalisée sur le solde moyen des comptes courants d'entreprises clientes d'un important groupe bancaire. Les résultats de cette étude sont donnés dans le tableau suivant :  $x$ désigne un montant en centaines de milliers d'euros, $n$ désigne le nombre de milliers d'entreprises qui ont un compte courant dont le solde est supérieur ou égal à $x$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0,3	&0,6	&0,9	&1,2	&1,5	&2	\\ \hline
$n$&1,81&0,79	&0,32	&0,15	&0,078	&0,031\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter après l'avoir reproduit le tableau suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à $10^{-3}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0,3		&0,6	&0,9	&1,2	&1,5	&2\\ \hline
$n$&1,81	&0,79	&0,32	&0,15	&0,078	&0,031\\ \hline
$z = \ln n$&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de $z$ en $x$
sous la forme $z =  ax + b$, où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-2}$.

\item  En déduire une expression de $n$ en fonction de $x$ de la forme $n =  \alpha\text{e}^{kx}$ où la constante $k$ sera arrondie à $10^{-2}$.

\item  À l'aide du résultat du \textbf{3}, donner une estimation du nombre d'entreprises dont le compte courant a un solde moyen supérieur ou égal à \nombre{250000}~euros.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) =  3,2 \text{e}^{-2,4x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. L'unité est 5~centimètres.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

		\item  Que peut-on déduire du résultat du \textbf{a} pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à 10
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&	0,2 &	0,5&	1&	1,5& 	2\\ \hline
$f(x)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre par le calcul, dans $[0~;~ + \infty[$, l'équation $f(x)  = 0,60$.\\
 Donner la valeur exacte de la solution $x_{0}$ puis la valeur approchée de $x_{0}$ arrondie a $10^{-2}$.
		\item  Retrouver graphiquement le résultat du \textbf{4.  a.}. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Application}

\medskip

On admet maintenant que, lorsque $0,1 \leqslant x \leqslant 2,5$, il y a \nombre{1000}$f(x)$ entreprises possédant un compte courant dont le solde moyen est supérieur ou égal à $x$ centaines de milliers d'euros dans le groupe bancaire évoqué dans la partie A.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le nombre d'entreprises dont le compte courant a un solde moyen supérieur ou égal à \nombre{50000}~euros.

\item  Déterminer le nombre d'entreprises dont le compte courant a un solde moyen compris au sens large entre \nombre{50000} et \nombre{100000} euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

Un atelier produit en grande série des pièces destinées à l'équipement informatique.

\medskip

\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

\medskip
L'atelier utilise deux machines M$_{1}$ et M$_{2}$. La fabrication est répartie entre les deux machines.

La machine M$_{1}$ fabrique 80\:\% des pièces dont 1\:\% sont défectueuses et la machine M$_{2}$ fabrique 20\:\% des pièces dont 2\:\% sont défectueuses.

On prélève au hasard une pièce dans la production d'une journée.

On désigne par D l'évènement: \og la pièce est défectueuse \fg{} ; par A l'évènement : \og la pièce a été fabriquée par la machine M$_{1}$ \fg{} et par B l'évènement : \og la pièce a été fabriquée par la machine M$_{2}$ \fg.

\begin{enumerate}
\item  Déduire des informations figurant dans l'énoncé $P$(A), $P$(B), $P_{\text{A}}(\text{D})$ et $P_{\text{B}}(\text{D})$.

(On rappelle que $P_{\text{A}}(\text{D}) = P(\text{D}/\text{A})$  est la probabilité de l'évènement D sachant que l'évènement A est réalisé.)

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(\text{A} \cap  \text{D})$ et $P(\text{B} \cap \text{D})$.
		\item  En déduire $P$(D).
 	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une pièce ait été fabriquée par la machine M$_{1}$ sachant qu'elle est défectueuse. Arrondir à $10^{-2}.$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip

On admet dans cette partie que $P(\text{D}) = 0,012$. On prélève au hasard pour vérification 50~pièces dans un stock important. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~pièces. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque prélèvement de ce type associe le nombre de pièces défectueuses de ce prélèvement.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

\item   Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux pièces exactement soient défectueuses. Arrondir à $10^{-2}.$

\item   Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux pièces soient défectueuses. Arrondir à $10^{-2}.$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Loi normale}

\medskip

Dans cette question on s'intéresse à la masse des pièces.

On prélève une pièce au hasard dans un lot important. On admet que la variable aléatoire $Y$ qui à chaque pièce de ce lot associe sa masse en kilogrammes suit la loi normale de moyenne $2$ et d'écart type $0,1$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $P(2 \leqslant  Y \leqslant  2,1)$. Arrondir à $10^{-2}.$

\item  Calculer $P(Y \geqslant  2)$.
\end{enumerate}
\end{document}