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% Correction : David Rousseau
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations\\ }}
\rfoot{\small{Session  2014}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ Session mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations}}


  
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}



\textbf{Partie A. Ajustement affine.}\\
\vspace{0.2cm}

\begin{enumerate}
\item Le nuage de points n'a pas une allure rectiligne.
\item 
\begin{enumerate}
\item % Table generated by Excel2LaTeX from sheet 'Feuil1'
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre d'articles fabriqués: $x$ &          1 &         20 &         30 &         50 &         70 &         80 \\
\hline
   $z = \ln(y)$ &       0,69 &       1,10 &       1,61 &       2,14 &       2,89 &       3,64 \\
\hline
\end{tabular}  

\item $z\approx 0,04x+0,31$.
\item Comme $z = \ln(y)$, on a $y= \text{e}^z\approx \text{e}^{0,04x+0,31}= \text{e}^{0,31}\text{e}^{0,04x}\approx 1,36\text{e}^{0,04x}$.
\item On cherche une estimation de $y$ quand $x=60$, donc $y\approx 1,36\text{e}^{0,04\times 60}\approx 14,99$ soit \np{1499}~euros.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

\textbf{Partie B. Calcul intégral.}\\
\vspace{0.2cm}


\begin{enumerate}
\item $f(0)=1,36$, il s'agit des coûts fixes.
\item $I = \displaystyle\int_{1}^{80} f(x)\:\text{d}x=\left[\dfrac{1,36}{0,04} \text{e}^{0,04x}\right]_1^{80}=\left[34\text{e}^{0,04x}\right]_1^{80}=34\left(\text{e}^{3,2}-\text{e}^{0,04}\right)$.
\item $V_m\approx \dfrac{I}{79}\approx 10,11$.
\item Il s'agit du coût moyen de production, en centaines d'euros, pour une production comprise entre 1 et 80 articles.
\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

\textbf{Partie C. Étude d'une fonction et applications. }\\
\vspace{0.2cm}

\begin{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
\item  $g'(x)=\dfrac{1,36\times 0,04\text{e}^{0,04x}\times x-1,36\text{e}^{0,04x}}{x^2}=\dfrac{1,36\text{e}^{0,04x}}{x^2}(0,04x - 1)$.
\item Pour tout réel $x\in[1~;~80]$, $\dfrac{1,36\text{e}^{0,04x}}{x^2}>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $0,04x-1$.\\
$g'(x)$ est donc strictement positive sur $]25;80]$, strictement négative sur $[1~;~25[$ et $g'(25) = 0$.
\item Voici le tableau de variations de $g$:\\
\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit{$x$/1,$g$/2}{$1$,$25$,$80$}
				\tkzTabVar{+/${1,36\text{e}^{0,04}}$,-/${\dfrac{1,36\text{e}}{25}}$,+/${\dfrac{1,36\text{e}^{3,2}}{80}}$}
				\end{tikzpicture}.
\item Dans l'intervalle $[1~;~80]$, $g(x)\leqslant 0,25$ pour $x$ compris entre 7 et 60. On trace la droite d'équation $y = 0,25$, la partie de la courbe qui nous intéresse ici est située au dessous de cette droite.\\

\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item 25.
\item Entre 7 et 60.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\vspace{0.2cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}\\
\vspace{0.2cm}

\textbf{Partie A.}\\
\vspace{0.2cm}

\begin{enumerate}
\item $P(A)=0,75$, $P(B)=0,25$, $P_A(C)=0,93$ et $P_B(C)=0,85$.\\
\item $P(A\cap C)=0,75\times 0,93=0,6975$ et $P(B\cap C)=0,25\times 0,85=0,2125$.
\item $P(C)=0,6975 + 0,2125=0,91$.
\item $P_C(A)=\dfrac{P(A\cap C)}{P(C)}\approx 0,77$.
\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}


\textbf{Partie B.}\\
\vspace{0.2cm}

\begin{enumerate}
\item Il y a répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, $X$ suit donc la loi $\mathcal{B}(20;0,09)$.
\item $P(X=2)=\left(_2^{20}\right)\times 0,09^{2}\times 0,91^{18}\approx 0,28$
\item $P(X\leqslant 1)=P(X = 0)+P(X = 1)= 0,91^{20} + 20\times 0,09\times 0,91^{19}\approx 0,45$
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

\textbf{Partie C.}\\
\vspace{0.2cm}

Dans cette partie, on s'intéresse à la vente d'articles d'un même type parmi l'ensemble des produits frais proposés.\\
Le nombre d'articles de ce type vendus par jour peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale de moyenne 40 et d'écart type 10. Le magasin réalise sur la vente de chaque article un bénéfice de 3 euros.
\vspace{0.2cm}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $\dfrac{150}{3}=50$, il faut vendre 50 articles de ce type.
\item Comme $Y$ suit la loi $\mathcal{N}(40;10)$, on pose $T=\dfrac{Y-40}{10}$, $T$ suit alors la loi $\mathcal{N}(0;1)$. On nous demande de calculer $P(Y\geqslant 50)$, on a:\\
$P(Y\leqslant 50)=1-P(Y<50)=1-P(T<1)\approx 1-0,8413\approx 0,16$.
\end{enumerate}
\item Pour ne pas être en rupture de stock, il faut vendre un nombre d'articles inférieur ou égal à 55, donc la probabilité cherchée est $P(Y\leqslant 55)=P(T\leqslant 1,5)\approx 0,93$.
\item Soit $Q$ la quantité d'articles en stock en début de journée, on a \\$P(Y>Q)<0,025\Longleftrightarrow  1-P(Y\leqslant Q)< 0,025\Longleftrightarrow P(Y\leqslant Q)>0,975$\\$\Longleftrightarrow P\left(T\leqslant\dfrac{Q-40}{10}\right)>0,975$, il faut donc que $\dfrac{Q-40}{10}>1,96$, soit que $Q>59,6$ soit 60 articles.
\end{enumerate}
\newpage




\end{document}