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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\small Nouvelle--Calédonie}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion des organisations}}
\rfoot{\small{novembre 2006 2008}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2006~\decofourright\\ Comptabilité et gestion des organisations\\
Nouvelle--Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{A. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~14] par

\[f(x) = \dfrac{x + 1 - \ln x}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que. pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~14],  $f^{\prime}(x) = \dfrac{\ln x - 2}{x^2}$.
		\item  Résoudre dans [1 ;  14] l'inéquation $\ln x - 2 \geqslant 0$.
		
En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ lorsque $x$ varie dans [1~;~14].
		\item Établir le tableau de variation de $f$ sur [1~;~14].
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont à arrondir à
$10^{- 2}$.
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1	&2	&3		&4	&5	&6	&7	&8	&14\\ \hline
$f(x)$	&	&	&0,97	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip		
		\item  Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthogonal. Sur l'axe des abscisses, on prend un centimètre pour une unité et, sur l'axe des ordonnées, on prend dix centimètres pour une unité.
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans [1~;~14] l'équation $f(x) = 1$.
		\item  On note $\alpha$ la solution obtenue au \textbf{a.} Placer sur la figure le point I d'abscisse $\alpha$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~14] par :

\[F(x) =  x + \ln x - \dfrac{1}{2} (\ln x)^2.\]

Démontrer que $F$ est une primitive de $f$  sur [1~;~14].
\item On note $J = \displaystyle\int_{1}^{14} f(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $J =  \ln 14 - \dfrac{1}{2}(\ln 14)^2 +13$.
		\item  Donner la valeur approchée de $J$ arrondie à $10 ^{-2}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Application des résultats des parties A et B}

\medskip

Une entreprise fabrique, chaque jour, entre $100$ et \np{1400}~exemplaires d'un certain type de pièce pour téléphone mobile.

On admet que, lorsque $x$ centaines d'exemplaires de cette pièce sont fabriquées, \\$1 \leqslant x \leqslant  14$, le coût moyen de fabrication d'une pièce est $f(x)$ euros, où $f$ est la fonction qui a été définie dans la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la quantité de pièces à fabriquer, en centaine, pour que le coût moyen soit minimal.

Arrondir à $10^{-2}$.

Déterminer alors ce coût moyen. Arrondir an centime d'euro.
\item 	Déterminer la quantité de pièces à fabriquer, en centaines, pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit un euro. Arrondir à $10^{-2}$.
\item 	Déduire de la partie B la valeur moyenne de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans [1~;~14]. Donner le résultat arrondi au  centime d'euro.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center}

Une usine fabrique en grande quantité un certain modèle de stylo.

\medskip

\begin{center}\textbf{Dans les parties A et B, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath
\end{center}

\bigskip

\textbf{A. Loi binomiale}

\medskip

On prélève un stylo, au hasard, dans une importante livraison destinée à une chaîne d'hypermarchés.

On note $E$ l'évènement \og un stylo prélevé au hasard est défectueux \fg.

On suppose que $P(E)  = 0,016$.

On prélève au hasard vingt stylos dans la livraison pour vérification. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement de vingt stylos à un tirage avec remise de vingt stylos.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de vingt stylos, associe le nombre de stylos défectueux de ce prélèvement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il n'y ait aucun stylo défectueux.
\item  En déduire la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins un stylo défectueux.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}

\medskip

Les stylos sont livrés aux grandes surfaces par lots de \np{1000}. On prélève au hasard un lot de \np{1000} stylos dans un dépôt de l'usine. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 1000 stylos.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de \np{1000} stylos, associe le nombre de stylos défectueux parmi les \np{1000} stylos. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = \np{1000}$ et $p = 0,016$.

On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de moyenne $16$ et d'écart type 4.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier les paramètres de cette loi normale.

On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $16$ et d'écart type $4$.
\item  Calculer la probabilité qu'il y ait au plus $17$~stylos défectueux, c'est-à-dire calculer $P(Z \leqslant 17,5)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Probabilités conditionnelles}

\medskip

L'usine possède deux ateliers de fabrication, notés \og atelier 1 \fg{} et \og atelier 2 \fg.

L'atelier 1 produit 60\,\% de la production et l'atelier 2 produit le reste.

1\:\% des stylos provenant de l'atelier 1 sont défectueux et 2,5\,\% des stylos provenant de l'atelier 2 sont défectueux.

On prélève au hasard un stylo parmi la production totale des deux ateliers d'une journée.

On définit les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[] $A$ : \og le stylo prélevé provient de l'atelier 1 \fg{} ;
\item[] $B$ : \og le stylo prélevé provient de l'atelier 2 \fg{} ;
\item[] $D$ : \og Le stylo prélevé est défectueux \fg.
\end{itemize}
\textbf{Dans cette partie, on demande les valeurs exactes des probabilités.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déduire des informations figurant dans l'énoncé : $P(A),\:P(B),\:P(D / A),\:P(D / B)$.

(On rappelle que $P(D / A) = P_{A}(D)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.)
\item  Calculer $P(D \cap A)$ et $P(D \cap  B)$.
\item  Déduire de ce qui précède $P(D)$.
\end{enumerate}
\end{document}