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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Assistant en création industrielle}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Assistant en création industrielle session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice tous les résultats seront donnés à $10^{-4}$ près.}\\

\medskip

Une usine fabrique des balles de tennis. Un contrôle de qualité montre que 3\:\% des balles produites ne sont pas conformes au cahier des charges de la fabrication.

On prélève au hasard dans la production $300$~balles de tennis. Le nombre de balles produites est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages indépendants.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $300$~balles tirées, associe le nombre de balles non conformes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ en justifiant la réponse et en précisant la valeur des paramètres de cette loi.
		\item  Calculer la probabilité qu'il y ait exactement $4$~balles non conformes ? au plus $4$~balles non conformes ?
		\item  Calculer l'espérance mathématique E($X$) et l'écart type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\item On admet que cette loi peut être approchée par une loi normale de moyenne $m =  9$ et d'écart type $\sigma =3.$
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(X \leqslant 12)$. 
		\item  Calculer $P(6 \leqslant X \leqslant 12)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
	
\textbf{Problème \hfill 12 points}
	
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [1 ; 8] par

\[g(x) =  24x^3 - \np{1536}.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer $g(4)$.
\item  Déterminer les réels $a,~ b$ et $c$ tels que :

\[g(x) = 24(x - 4)\left(ax^2 + bx + c\right).\]

\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1 ; 8] par

\[f(x) =  12x^2 +\dfrac{\np{1536}}{1536x}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que, pour tout $x \in  [1~; ~8]$

\[f'(x)= \dfrac{24(x - 4)\left(x^2 + 4x + 16\right)}{x^2}.\]

\item  Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1 ; 8].
\item  Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal dans lequel 1~cm représente 1~cm sur l'axe des abscisses et $100$~cm sur l'axe des ordonnées (on utilisera le papier millimétré).
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On doit réaliser une boîte en forme de parallélépipède rectangle à base carrée de volume 128~cm$^3$.

Des contraintes pour le coût de la boîte sont imposées. La matière utilisée coûte :
 
\begin{itemize}
\item[] 6 centimes d'euro le cm$^2$ pour le fond et le couvercle ;
\item[] 3 centimes d'euro le cm$^2$ pour les faces latérales.
\end{itemize}

On désigne par $x$ le côté en cm de la base carrée de la boîte et par $h$ la hauteur en cm de cette boîte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Exprimer en fonction de $x$ et de $h$ le volume de la boîte. En déduire $h$ en fonction de $x$.
\item  Montrer que le coût de revient en centimes d'euro de la boîte est

$C(x) = 12x^2 + \dfrac{\np{1536}}{x}$.
\item   Pour quelle valeur de $x$ le coût de la boîte sera-t-il minimal ? Quelle est alors la valeur de $h$ ?
\end{enumerate}
\end{document}