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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Assistant en création industrielle}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\pagestyle{fancy}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2005 - Assistant en création industrielle}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans $\C$ l'équation $z^2 - 4z + 16 = 0$.
\item   Soit $P(z) = z^3 - 8z^2 + 32z - 64$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $P(z)$=$(z - 4)\left(z^2 - 4z + 16\right)$.
		\item En déduire les solutions de l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 1~cm)

On considère les nombres complexes : 
		\[z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i}\sqrt{3} ~;~ z_{\text{B}}= 4~ ;~ z_{\text{C}} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C, d'affixes respectives $z_{\text{A}},~ z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sont sur un même cercle $\Gamma$ de centre O dont on précisera le rayon.
		\item Tracer $\Gamma$ et placer les points A, B et C.
		\item Déterminer le longueurs AB et BC.
		\item Déduire de ce qui précède, et en le justifiant, la nature du quadrilatère OABC.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item  Donner les limites en $0$ et $+ \infty$ de la fonction $f$.
\item  Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et étudier son signe.
\item  Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur [0,5~;~8].
	\begin{enumerate}
			\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection A de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
			\item Tracer la courbe dans un repère orthogonal \Oij{} [unités : 1~cm sur l'axe des abscisses et 4~cm sur l'axe des ordonnées].
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}'$ symétrique de $\mathcal{C}$ par rapport à [O$x$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On met à la fabrication des vases dont le profil est représenté par l'ensemble des deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. On veut tester la qualité de ces vases et à cet effet on prélève 100~lots de même taille et on compte les vases défectueux dans chacun de ces lots. On obtient le tableau suivant :
	
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
Nombre de vases défectueux par lot & 0& 1&2 	&3 	&4	&5&	6&7\\ \hline
Nombre de lots& 7& 13&18 &23&21 &11&6&1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la moyenne $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ de cette série statistique.

\emph{Les résultats seront donnés arrondis au dixième.\\
On rappelle les formules donnant l'écart-type :}

\[\sigma = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{1}^p n_{i}\left(x_{i} - \mu  \right)^2}~~\text{o\`u}~~\sigma = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{1}^p n_{i}x_{i}^2 - \mu^2}~~\text{avec}~~n = \sum_{1}^p n_{i}.\]

\item 	En admettant que le nombre de vases défectueux dans les lots suit la loi normale de moyenne $3$ et d'écart-type $1,6$, déterminer la probabilité pour qu'un lot quelconque contienne au plus $5$ vases défectueux.
\end{enumerate}
\end{document}
