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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Assistant en création industrielle}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2004 - Assistant en création industrielle}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

Les deux questions A et B sont indépendantes.

\medskip

\textbf{A.} Une entreprise fabrique des vêtements de sport pouvant présenter deux défauts indépendants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] La probabilité que le tissu présente un défaut est $0,02$.
\item[$\bullet~$] La probabilité d'un défaut de confection est $0,05$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
	\item  Calculer la probabilité qu'un vêtement ait les deux défauts.
	\item  Montrer que la probabilité qu'un vêtement soit sans défaut est $0,931$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{A.} En une semaine, l'entreprise fabrique \nombre{1000}~vêtements. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de vêtements sans défaut fabriqués en une semaine.

\begin{enumerate}
	\item Quelle est la loi de X ? Calculer son espérance et son écart type.
	\item On admet que cette loi peut-être approchée par une loi normale de moyenne $m = 931$ et d'écart type $\sigma = 8$.

		\begin{enumerate}
			\item Calculer la probabilité $p (927 \leqslant  X \leqslant 935)$.
			\item Pour quelle valeur de $x$ arrondie â l'entier le plus proche, a-t-on $p(X \leqslant x) = 0,95$ ?
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

Soit (E) l'équation différentielle suivante

\[ y' + y = \text{e}^{-x}\quad  (\text{E})\]

où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$ et $y'$ la fonction dérivée.

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation sans second membre $y'+ y = 0$.
\item Déterminer un réel $a$ tel que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) =  a x \text{e}^{-x}$ soit solution de (E).
\item En déduire la solution générale de l'équation (E) puis la solution $f$ telle que $f(0) = 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de $f$ et étudier son signe. Dresser son tableau de variations sur l'intervalle $[-2~;~4]$.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$	représentative de la fonction $f$ sur cet intervalle dans le repère \Oij{} ; unité 2~cm.
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
\[F(x)	= - 3\text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x}\] 	
est une primitive de $f$.
\item Calculer l'aire du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les deux droites d'équation $x =  -2$ et $x =  4$. On donnera cette aire en unités d'aire et une valeur approchée en cm$^2$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{document}